Mutassa meg, hogy minden n természetes számra igaz az alábbi összefüggés! 1× 2 + 2 ×5 + 3×8 +⋯+ n (3n −1) = n (n +1)?

Ami ide ki van írva már n=2 -re sem igaz.

1*2+2*5=12, a jobb-oldalon 2*3=6.

Ezen nincs mit bizonyítani.

(Nem írtad el a feladatot?)

Teljes indukcióval kell belátni. n=1-re igaz. Tegyük fel, hogy n=k-ra beláttad, és most belátjuk n=k+1-re.

Mivel n=k-ra beláttad:

1×2+2×5+...+k×(3k-1) = k^2(k+1)

Az állítás n=k+1-re a következő:

1×2+2×5+...+k×(3k-1)+(k+1)(3(k+1)-1) = (k+1)^2((k+1)+1).

Azt kell bebizonyítani, hogy mindkét oldal ugyanannyival nőtt. A bal oldal egy (k+1)(3k+2)=3k^2+5k+2 taggal lett nagyobb, a jobb oldal pedig:

(k+1)^2(k+2)-k^2(k+1) = (k+1)*((k+1)(k+2)-k^2) = (k+1)(3k+2), ugyanannyival nőtt.

Ezzel kész a bizonyítás.