Matematika feladat (? )

Sajnos nem valami szép megoldás, de most csak ez jutott eszembe:

10 ≤ a,b ≤ 99

a·b + 4(a+b) = 1994

1994 nem osztható 4-gyel, de osztható 2-vel, ezért a·b nem lehet osztható 4-gyel, de páros kell legyen. Mivel a és b-re teljesen szimmetrikus a kifejezés, az általánosság megsértése nélkül feltételezhetünk valamilyen sorrendet:

a = 4k+2       (2 ≤ k ≤ 24)

b = 2n+1 (5 ≤ n ≤ 49)

(4k+2)(2n+1) + 4(4k+2 + 2n+1) = 1994

8kn + 4k + 4n + 2 + 16k + 8 + 8n + 4 = 1994

8kn + 20k +12n + 14 = 1994

8kn + 20k +12n = 1980

2kn + 5k + 3n = 495

n(2k+3) = 5(99−k)

A bal oldal is osztható kell legyen 5-tel. Két eset van:

a) n osztható 5-tel:

n = 5m       (1 ≤ m ≤ 9)

m(2k+3) = 99-k

2mk + 3m + k = 99

k(2m+1) = 3(33−m)

k = 3(33−m)/(2m+1)

Most már m csak 9-féle lehet, nincs jobb ötletem, mint ki lehet mindet próbálni, hogy egész szám jön-e ki.

Kipróbáltam, csak m=1 a jó.

m=1, k=32 → már nem jó, mert a 32 túl sok.

b) (2k+3) osztható 5-tel:

Vagyis k = 5m+1       (1 ≤ m ≤ 4) mert (2 ≤ k ≤ 24)

n(2k+3) = 5(99−k)

n(10m+2+3) = 5(99−(5m+1))

n(2m+1) = 98−5m

n = (98−5m)/(2m+1)

Most már m csak 4-féle lehet, nincs jobb ötletem, mint ki lehet mindet próbálni, hogy egész szám jön-e ki.

Kipróbáltam, csak m=1 a jó.

m=1, n=31 → idáig jó.

k = 6

a = 4k+2 = 26

b = 2n+1 = 63

Ez az egyetlen megoldás (és persze a fordítottja, a=63 b=26)

A terület ebből már egyszerű.

bocs, bongolo, de kicsit el bonyolítottad...

Az egyenlet: ab+2a+2b=1994

Adjunk hozzá 4-et mindkét oldalhoz!

ab+2a+2b+4=1998

(a+2)(b+2)=1998

Itt 1998 két egész szorzata, azaz megfelelő osztópárt kell csak keresni. A prímfelbontása: 1998=2*3*3*3*37

Ebből csak 27*74 és 37*54 a jó.

Az oldalak: 25 és 72 vagy 35 és 52.

Szép kis feladat! Lássuk!

Ha a téglalap két oldala a és b, akkor a feladat így fogalmazható meg:

2(a + b) + ab = 1994

Felbontva a zárójelet

2a + 2b + ab = 1994

'a'-t kiemelve

a(b + 2) + 2b = 1994

ebből

a = (1994 - 2b)/(b + 2)

A számlálót kicsit átalakítva

1994 - 2b = 1994 - 2b - 4 + 4 = 1994 - 2(b + 2) + 4 = 1998 - 2(b + 2)

tehát

a = [1998 - 2(b + 2)]/(b + 2)

Tagonként osztva

a = 1998/(b + 2) - 2

A feladat ezek után az, hogy megkeressük azokat a kétjegyű számokat (b), amikre érvényes, hogy (b + 2)|1998

Ehhez kell 1998 törzstényezős felbontása

1998 = 2*3*3*3*37 = 2*3³*37

Az osztók száma

d(1998) = 2*4*2 = 16

Szerencsére a választék alaposan leszűkíthető, hiszen 'b' csak kétjegyű lehet.

A kétjegyű osztók:

18, 27, 37, 54, 74

Az ezekhez tartozó 'b' értékek

16, 25, 35, 52, 72

Ezután az 'a' értékei

b = 16 --> a = 111 - 2 = 109 - ez nem felel meg a feladat feltételeinek.

Marad négy szám

b = 25 --> a = 72

b = 35 --> a = 52

-------

b = 52 --> a = 35

b = 72 --> a = 25

Mivel a második két pár az első kettő fordítottja, végül is két pár maradt:

b = 25 --y a = 72

és

b = 35 --> a = 52

Az a pár lesz a jó, amelyik kielégíti a kiinduló egyenletet.

Röviden számolással eldönthető, hogy mindkét páros megoldása a feladatnak!

Vagyis

a = 72

b = 25

=====

vagy

a = 52

b = 35

=====

lehetnek a téglalap oldalai.

Ellenőrzés:

2(a + b) + ab = 1994

2(72 + 25) + 72*25 = 2*97 + 1800 = 194 + 1800 = 1994

ill.

2(52 + 35) + 52*35 = 2*87 + 1820 = 174 + 1820 = 1994

Stimmel! :-)

A terület kiszámítása legyen a kérdező feladata. :-)

DeeDee

**********

Kösz Béla, tényleg elbonyolítottam, ráadásul hülyeséget is csináltam, mert 4-gyel szoroztam 2 helyett :(

Bocs a kérdezőtől is!!