Mi az alábbi lineáris algebrai feladat megoldása?

Mit jelent a "Span"? A felírt vektorok lineáris kombinációját?

Ha jól gondolom, akkor a legelső vektort v-vel, a többi megadott vektorokat a, b, c-vel jelölve, úgyis fogalmazhatjuk a feladatot, hogy találunk-e olyan x, y, z valós számokat, hogy a*x+b*y+c*z=v. Azaz, a v-t előállíthatjuk-e az adott a, b, c lineáris kombinációjaként? Ez egy háromismeretlenes egyenletrendszert ad:

1*x+0*y+(-1)*z=1

-1*x+1*y+0*z=-2

0*x+(-1)*y+1*z=2

Vagy egyszerűbben:

x-z=1

-x+y=-2

-y+z=2

Ha ennek van megoldása, akkor az adott v vektort előállítottuk az adott a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként, egyébként nem állítható elő.

Az első kettőt összeadva:

y-z=-1

ezt és a harmadikat összeadva:

0=1, ami ellentmondás. Tehát az egyenletnek nincs megoldása.

Másik megoldás:

Három, egymástól független vektor segítségével mindig előállítható egy negyedik vektor az adott vektorok lineáris kombinációjaként.

Ezért elég csak azt megnéznünk, hogy az adott a, b, c vektorok lineárisan függetlenek egymástól.

Tehát arra keressük a választ, hogy léteznek-e olyan n és m valós számok, hogy k*a+l*b=c.

Koordinátákkal:

1*n+0*m=-1

-1*n+1*m=0

0*n-1*m=1

Az első kettő egyszerűbben:

n=-1

-n+m=0

Ezek megoldása: n=-1, m=-1.

Ezeket a harmadikba helyettesítve:

0*(-1)-1*(-1)=1, azaz 1=1. Az egyenlőség teljesül. Tehát a harmadik, c vektort elő állíthatjuk az első két vektor lineáris kombinációjaként: c=-a-b, vagy c=-(a+b)

Tehát a megadott vektorrendszer nem független vektorrendszer. Csak síkbeli vektorok állíthatók elő ezzel a három vektorral, tetszőleges térbeli vektor nem.

Az a és b vektorok síkjára nem illeszkedik a megadott v vektor. Tehát a, b, c segítségével nem állítható elő az adott v vektor.

Remélem tudtam segíteni!