Vektorok. Valaki segítene?

Nem tudom, koordináta-geometriát tanultok? Úgy válaszolok.

1)

Rakjuk a háromszöget a tengelyekre, A = origó.

Az AB oldal hossza legyen x, |AC| = 2x:

A(0; 0)

B(0; x)

C(2x; 0)

A B-ből C-be mutató vektor: BC = C - B = (2x−0; 0−x) = (2x; −x)

A B pontból az ötödölő pontokba mutató vektorok:

BD = (2x/5; -x/5)

BE = (2·(2x/5); 2·(-x/5))

BF = (3·(2x/5); 3·(-x/5))

BG = (4·(2x/5); 4·(-x/5))

Az AC szakasz felezőpontja:

M(x; 0)

a) MF = AF − AM

AF = AB + BF = (0; x) + (3·(2x/5); 3·(-x/5)) = (6x/5; 2x/5)

AM = (x; 0)

ezért

MF = (x/5; 2x/5)

BC = (2x; −x)

Ha merőlegesek, akkor a skalárszorzatuk nulla. Szorozzuk össze:

(x/5; 2x/5)·(2x; −x) = 2x·x/5 + (−x)·2x/5 = 0 valóban

b)

AB = B − A = (0; x)

AE = AB + BE = (0; x) + (2·(2x/5); 2·(-x/5)) = (4x/5; 3x/5)

Bizonyára a feladat a hosszak egyformaságát megmutatni, szóval hogy |AB| = |AE|

AB hossza x

AE hossza = √((4x/5)² + (3x/5)²)

Egyrészt észre lehet venni, hogy a 3-4-5 pitagoraszi számhármas, tehát a hossz 5x/5. Ha ezt nem veszed észre, akkor ki kell számolni a négyzeteket:

16x²/25 + 9x²/25 = 25x²/25 = x²

ennek a gyöke pedig x.

Tehát tényleg egyformák.

2)

Legyen a BC szakasz hossza a, az A ponthoz tartozó magasság hossza pedig m.

Tegyük a B pontot az origóba, a C pontot pedig az x tengelyre:

B(0; 0)

C(a; 0)

A(a/2; m)

AB = B − A = (-a/2; −m)

AC = C − A = (a/2; −m)

BC = C − B = (a; 0)

AB+AC = (0; -2m)

szorozva BC-vel:

(0; -2m)·(a; 0) = 0 valóban