Matek házi segítség?

Figyelt kérdés
x^2-y^2=2012 és tudjuk, hogy x és y csak egész számok lehetnek. Ötletek?
2012. szept. 9. 18:42
 1/2 anonim ***** válasza:

ezt csak egyenletrendszerbe lehetne megoldani, mivel kétismeretlenes (így ehhez kettő egyenlet szükséges, de itt csak egy van).

vmit elnéztél v simán nem lehet megoldani információ hiányában.

2012. szept. 9. 18:44
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/2 anonim ***** válasza:

Nem kell több adat, ennyiből meg lehet oldani a feladatot.


Egy kis elméleti bevezető


A feladat az

x² - y² = N

egyenlet megoldása.

Először egy kis átalakítás: mivel a bal oldal egy nevezetes szorzat, eszerint írható

(x + y)(x - y) = N

Az egyenlőség akkor áll fenn, ha a bal oldal mindkét tényezője - (x + y) és (x -y) is - osztója a jobb oldalnak.

Ennek eldöntéséhez szükség van N osztóira.

Tegyük fel, hogy N összetett szám, és van 'n' darab osztója.

A feladat megoldásához az osztókból össze kell állítani a konjugált osztópárokat: ezek azok az osztók, melyeknek szorzata magát a számot - N - adja. (Ha N prímszám, a konjugált osztópár N*1)


Legyen egy ilyen osztópár d1 és d2 (az osztópárok száma egyébként - négyzetszámok kivételével - n/2), ekkor

N = d1*d2

Ezekkel a fenti egyenlet

(x + y)(x - y) = d1*d2

A két oldal tényezőit párosítva írható, hogy

x + y = d1

x - y = d2

A két egyenletet összeadva

2x = d1 + d2

így

x = (d1 + d2)/2

===========

A két egyenletet kivonva egymásból

2y = d1 - d2

y = (d1 - d2)/2

==========

Ez a két összefüggés bármely N számra érvényes, vagyis minden szám felírható két négyzetszám különbségeként!


Ezek után már nem lehet probléma az ilyen feladatok megoldása.


Az esetek többségében az ilyen feladatoknál az a megkötés, hogy pozitív egész megoldások kellenek.

Az x és y képletéből látható, hogy csak akkor lesz egész szám a megoldás, ha a számláló páros, ami csak úgy lehetséges, ha d1 és d2 azonos paritású (mindegyike páros vagy páratlan).


Lássuk a feladat számát

N = 2012

A prímtényezők

2012 = 2*2*503

Az osztói

1, 2, 4, 503, 1006, 2012

A konjugált osztópárok

1 - 2012

2 - 1006

4 - 503


Látszik, hogy egyetlen azonos paritású osztópár van, ez

2 - 1006


Ezekkel a megoldás

x = (1006 + 2)/2

x = 504

======


y = (1006 - 2)/2

y = 502

======


Ellenőrzés

N = 504² - 502²

N = 2012


A számtól függően több osztópár is lehetséges, így minden megfelelő párral kiszámolt x és y érték megoldása a feladatnak.

***************************

Befejezésül egy szokatlan példa.

Mi a megoldása az

x² - y² = √5

egyenletnek?


A használható osztópár

√5 és 1

ezekkel

x = (√5 + 1)/2

és

y = (√5 - 1)/2

vagyis az aranymetszés arányszámai!

Ellenőrizhető, hogy

[(√5 + 1)/2]² - [(√5 - 1)/2]² = √5


Remélem, sikerült kimerítő választ adni a kérdésre. :-)


DeeDee

**********

2012. szept. 10. 23:49
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:




Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!