Matek házi segítség?
ezt csak egyenletrendszerbe lehetne megoldani, mivel kétismeretlenes (így ehhez kettő egyenlet szükséges, de itt csak egy van).
vmit elnéztél v simán nem lehet megoldani információ hiányában.
Nem kell több adat, ennyiből meg lehet oldani a feladatot.
Egy kis elméleti bevezető
A feladat az
x² - y² = N
egyenlet megoldása.
Először egy kis átalakítás: mivel a bal oldal egy nevezetes szorzat, eszerint írható
(x + y)(x - y) = N
Az egyenlőség akkor áll fenn, ha a bal oldal mindkét tényezője - (x + y) és (x -y) is - osztója a jobb oldalnak.
Ennek eldöntéséhez szükség van N osztóira.
Tegyük fel, hogy N összetett szám, és van 'n' darab osztója.
A feladat megoldásához az osztókból össze kell állítani a konjugált osztópárokat: ezek azok az osztók, melyeknek szorzata magát a számot - N - adja. (Ha N prímszám, a konjugált osztópár N*1)
Legyen egy ilyen osztópár d1 és d2 (az osztópárok száma egyébként - négyzetszámok kivételével - n/2), ekkor
N = d1*d2
Ezekkel a fenti egyenlet
(x + y)(x - y) = d1*d2
A két oldal tényezőit párosítva írható, hogy
x + y = d1
x - y = d2
A két egyenletet összeadva
2x = d1 + d2
így
x = (d1 + d2)/2
===========
A két egyenletet kivonva egymásból
2y = d1 - d2
y = (d1 - d2)/2
==========
Ez a két összefüggés bármely N számra érvényes, vagyis minden szám felírható két négyzetszám különbségeként!
Ezek után már nem lehet probléma az ilyen feladatok megoldása.
Az esetek többségében az ilyen feladatoknál az a megkötés, hogy pozitív egész megoldások kellenek.
Az x és y képletéből látható, hogy csak akkor lesz egész szám a megoldás, ha a számláló páros, ami csak úgy lehetséges, ha d1 és d2 azonos paritású (mindegyike páros vagy páratlan).
Lássuk a feladat számát
N = 2012
A prímtényezők
2012 = 2*2*503
Az osztói
1, 2, 4, 503, 1006, 2012
A konjugált osztópárok
1 - 2012
2 - 1006
4 - 503
Látszik, hogy egyetlen azonos paritású osztópár van, ez
2 - 1006
Ezekkel a megoldás
x = (1006 + 2)/2
x = 504
======
y = (1006 - 2)/2
y = 502
======
Ellenőrzés
N = 504² - 502²
N = 2012
A számtól függően több osztópár is lehetséges, így minden megfelelő párral kiszámolt x és y érték megoldása a feladatnak.
***************************
Befejezésül egy szokatlan példa.
Mi a megoldása az
x² - y² = √5
egyenletnek?
A használható osztópár
√5 és 1
ezekkel
x = (√5 + 1)/2
és
y = (√5 - 1)/2
vagyis az aranymetszés arányszámai!
Ellenőrizhető, hogy
[(√5 + 1)/2]² - [(√5 - 1)/2]² = √5
Remélem, sikerült kimerítő választ adni a kérdésre. :-)
DeeDee
**********
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!