Hogyan oldjam meg ezt? Másodfokú visszavezethető magasabb egyenletek.

Lehetséges könyvbéli elírás is.

Egyébként többféle módon megoldható ez az egyenlet is, most írok egy eljárást, amellyel te is meg tudod határozni:

Először keressük meg a zérushelyeket, azaz az

x^4-2x^3-3=0

egyenlet gyökeit keressük.

Néhány próbálgatás után azonnal látszik, hogy a -1 biztosan megoldása az egyenletnek.

Most készítsünk egy közelítő ábrát a függvényről, úgy, hogy értéktáblázatot készítünk, tehát vesszük az x értékeket pl. -3 tól +3 ig, majd kiszámítjuk a hozzá tartozó y értékeket:

x=-3 -->y=132

x=-2 -->y=29

x=-1 -->y=0

x=0 -->y=-3

x=1 -->y=-4

x=2 -->y=-3

x=3 -->y=24

Látható, hogy az x=2 és x=3 között egy hirtelen ugrás van, mivel a kettő között előjelet váltott a függvényérték, a második x gyököt a 2 és 3 között kell keresnünk.

Továbbá mivel ez egy egyszerű hatványfüggvény (nincs benne se szakadás, se semmi), ezért kijelenthetjük, hogy az értéktáblázatunk alapján csak két zérushely lesz.

Feladatunk most a második zérushely megkeresése:

Alakítsuk egyenletünket kiemeléssel "szebb" formába:

x^3(x-2)=3

A bal oldalt vizsgáljuk, olyan alkalmas x értéket kell keresnünk, mely mellett 3 az eredmény.

Mivel megállapítottuk, hogy x 2 és 3 között lesz, ezért elsőként legyen ezeknek a számtani közepe(2,5): Azaz a különbségüket felezzük. (Az eljárás neve húrmódszer)

Ha x=2,5 akkor a bal oldal? 7,81

Mivel függvényünk az [2;3] intervallumban szigorúan monoton növő, ezért x értékét csökkenteni kell, hogy az y érték kisebbedjék:

Ismét felezzük a különbséget, tehát most:

x=2,25 így: 2,848

Látható, hogy most x-et növelnünk kell, legyen:

x=2,26 ekkor: 3,001 Ez már 3 tizedesjegyig pontos eredmény.

Pontosíthatunk még:

x=2,259 --> 2,9857

x=2,2595 --> 2,9935

.

.

.

x=2,2599 --> 2,9997.

Ez már négy tizedesjegyig pontos, most megelégszünk ezzel.

Az értéktáblázatból és annak alapján készített garfikonunkból megállapítható, hogy az x értékeknek -1 és 2,2599 között kell lenniük.

Tehát az eredeti egyenlőtlenségünk megoldáshalmaza:

M={x€R|-1<=x<=2,2599}

Megjegyzés: A második gyök pontos értéke egy másik módszerrel meghatározva: köbgyök(2)+1

6.: A húrmódszert és a hozzá hasonló közelítéses dolgokat csak egyetemen tanítják, középiskolában még matematika tagozaton se szokták!

Az x=-1 -hez így lehet könnyen eljutni:

x^4-2x^3-3 = (x^4-1) - 2x^3 - 2 = (x^4-1)-2(x^3+1) =

((x^2)^2-1^2)-2((x+1)(x^2-x+1))=

(x+1)(x-1)(x^2+1)-(x+1)(2x^2-2x+2) =

(x+1)((x-1)(x^2+1)-(2x^2-2x+2))=

(x+1)(x^3-x^2+x-1-2x^2+2x-2)=

(x+1)(x^3-3x^2+3x-3)=0.

Nem kell tehát az utolsó sorig eljutni, hogy lássuk az x = -1 -et megoldásként. A második zárójelben lévőt azonban tényleg csak felsőfokú matematikai ismeretekkel szorzattá bontani.

Az előző válaszoló gyönyörűen szorzattá alakította a polinomunkat, most pedig tegyünk említést egy kicsit a szorzat második tényezőjéről.

Világos mindenki számára, ha a második tényező nulla, azaz:

x^3-3x^2+3x-3=0

akkor is megkapható a második gyök, mégpedig a pontos érték - amit az előzőekben közelítve meghatároztunk:

Próbáljuk a bal oldalt teljes köbbé alakítani!

Ismeretes az

(a-b)^3=a^3-3ba^2+3ab^2-b^3

algebrai azonosság.

Ha ezzel összevetjük egyenletünk bal oldalát, akkor könnyen belátható hogy:

a=x és b=1.

Igen ám, de mi van a -b^3 -ös tagunkkal? Ez ugyanis csak -1 lenne.

Ahhoz, hogy összességében -3 adódjék, utólagosan még 2-t ki kell vonnunk.

Így teljes köbbé alakítás után kapjuk hogy:

(x-1)^3-2=0

Átrendezve:

(x-1)^3=2

Amiből:

x-1=köbgyök(2) és a pontos gyök:

x=köbgyök(2)+1

Ehhez viszont elegendőek a középiskolás ismeretek.