Mekkora területű részekre bontja a 20 cm sugarú kört egy 24 cm hosszúságú húrja?

Először számoljuk ki a kör területét: T(kör)=r^2*pí=20^2*pí=400*pí=1256,636 cm^2

Ha ez megvan, rajzoljunk egy vázlatot. Mivel nem tudok képet küldeni, ezért leírom, hogyan kell elkészíteni ehhez a vázlatot:

Rajzolj egy kört, majd húzz be egy húrt rajta (lehetőleg ne az átmérő legyen), erről tudjuk, hogy 24 cm. Ha ez megvan, a húr két végpontját kössük össze az origóval. Ezek a sugarak lesznek, amiknek a hossza 20 cm. A húr és a két sugár a körön belül egy egyenlő szárú háromszöget alkot. Nekünk most a középponti szögre van szükségünk, amit a három oldal ismeretében a koszinusztétellel ki is tudunk számolni:

Koszinusztétel: c^2=a^2+b^2-2*a*b*cos(gamma), ahol gamma az a és b oldal által bezárt szög, így:

24^2=20^2+20^2-2*20*20*cos(gamma)

576=800-800*cos(gamma)

-224=-800*cos(gamma)

0,28=cos(gamma), amiből

gamma=73,74°, vagy 286,26, de mivel mi most a kisebbik szelet területével foglalkozunk, ezért gamma=73,74°.

A rajzon látjuk, hogy (ha a húrt nem vesszük figyelembe) a két sugár a körívvel egy körcikket alkot, aminek a területe: r^2*pí*(alfa)/360°, ahol alfa a középponti szög, így T(körcikk)=20^2*pí*73,74°/360°=81,933*pí=257,4 cm^2.

Most vizsgáljuk meg, hogy a körcikk milyen síkidomokból áll! A sugarak és a húr egy egyenlő szárú háromszöget alkotnak, a húr a körívvel pedig a körszeletet, tehát a körszelet területét megkapjuk, ha kivonjuk a körcikk területéből az egyenlő szárú háromszög területét, ami az a*b*sin(gamma)/2 képlettel kiszámolható, ahol gamma az a és b oldal által bezárt szög (esetünkben a két sugár, ezért a=b=20). Tehát:

T(háromszög)=20*20*sin(73,74°)/2=192cm^2

A kisebbik körszelet területe: T(körszelet1)=T(körcikk)-T(háromszög)=257,4-192=65,4 cm^2

A nagyobbik körszelet területét megkapjuk, ha a kör területéből kivonjuk a kisebbik körszelet területét: T(körszelet2)=T(kör)-T(körszelet1)=1256,636-65,4=1191,236 cm^2

Tehát a húr egy 65,4 cm^2 és egy 1191,236 cm^2 területű részre osztja.

Remélem, hogy érthető voltam :)

Nem biztos, hogy a kérdező érti az első ( különben tökéletes!!) válaszát, ha még nem tanulta a koszinusz-tételt. Nem is szükséges a megoldáshoz, mivel egyenlő-szárú a háromszög.

Ezért csináltam másik megoldást is:

[link]