Milyen módszerrel kell megoldani? Vegyes feladatok között volt, próbáltam koordináta geometriával, de nem jutottam semmire. Íme:

Nem vágom... Itt még csak számolni se nagyon kell...

Ugye először ellenőrizzük, hogy lehetséges-e, hogy egy téren így álljanak a fák, azaz teljesül-e a háromszög egyenlőtlenség a három oldalra. Bármely két távolság összegének nagyobbnak kell lennie a harmadiknál. Ez teljesül (18 + 22 > 25 és 25 > 18 > 12).

Aztán a szökőkutat azt akarják, hogy mindháromtól egyenlő távolságra tegyük le, kettőtől egyenlő távolságra levő pontok a felező merőlegesükön vannak. Ki választasz két fapárt a háromból, megszerkeszted a két szakasz felezőmerőlegesének a metszéspontját, és oda kell tenni a kutat. (Bizonyítás: Kör definíció, és a háromszög köré írt körére vonatkozó nagyon alap tétel.)

Ha ki akarod számolni pontosan, akkor meg kiszámolod, hogy hol vannak a fák, aztán felírod két felező merőleges egyenletét és egyenletrendszerként megoldod.

Ez a módszer tetszőleges, tehát nem csak az euklideszi geometriában működik, bár a háromszög egyenlőtlenséggel egyéb geometriákban vigyázni kell.

Először az oldalfelezőket húzod meg és ezek metszéspontja a háromszög köré írt kör középpontja lesz,ami egyenlő távolságra van az A, B illetve C ponttól, azaz a fáktól. Ezeket a pontokat összekötve (a fákat) egy háromszöget kapunk. És már csak a köré írt kör sugarát kell kiszámolni. Jelöljük a háromszög oldalait a, b illetve c-vel.

R=a*b*c/(4*T)=a*b*c/(4*gyökalatt(s*(s-a)(s-b)(s-c))) s=félkerület s=(18+22+25)/2=32,5 cm

Tudjuk, hogy a=18 cm, b=22 cm és c=25 cm.

Akkor R=(18*22*25)/(4*gyök alatt (32,5*14,5*10,5*7,5))=9900/771=12,8 cm

Az a feladat, hogy "alkosson matematikai modellt". Szóval szerintem nem kell kiszámolni, csak matematikai nyelvre kell lefordítani a hétköznapi feladatot, ami alapján már ki lehetne számolni.

A legrövidebb modell valószínű ilyesmi: A három fa egy háromszög csúcspontjait adja, e háromszög köré írható kör középpontjába kell építeni a szökőkutat.

Bongolo, ezek az első válaszban is benne vannak, igaz zárójelben. A zárójel előtt szerepel hozzájuk indoklás.

A köré írt kör sugara pont nem volt kérdés, és kiszámolni is felesleges. Inkább a három fa helyzetéhez képest kéne megadni a szökőkút helyét... A matematikai modell pedig igen, a háromszög és a köré írt körének szerkesztése.(Ráadásul a második elrontotta a mértékegységet.)

Akkor csináljuk meg euklideszi geometriában Descartes-i koordinátarendszerben.

Legyen a koordinátarendszer origója az egyik fa, válasszuk az egységet 1 méternek, az x-tengelyt pedig a tőle 25 méterre levő irányában vegyük fel.

Háromszögszerkesztés: Az origóban levő fa koordinátái A(0, 0), a tőle 25 m-re levő fa koordinátái B(25, 0). C az A-tól 22, a B-től 18 méterre van. Az A és B körül írt megfelelő sugarú körök egyenletei (ezek azok amelyek minden pontja megfelelő a távolságra van A-tól vagy B-től, így metszéspontjuk megfelelő távolságra lesz A-tól és B-től):

(1) x^2 + y^2 = 22^2,

(2) (x-25)^2 + y^2 = 18^2,

(1)-(2) x^2 - x^2 + 50*x - 625 = 484 - 324,

Így a C pont x-koordinátája 15,7. Ezt az (1)-be helyettesítve 15,7^2 + y^2 = 484, innét az y-koordináta +- gyök(237,51), válasszuk úgy, hogy az első síknegyedben legyen, tehát a C pont koordinátái (15,7, gyök(237,51)).

A köré írt kör középpontja egyenlő távol van A és B ponttól (a kör definíciója miatt), így rajta van az

(3) x = 12,5

egyenesen. Kell még egy felezőmerőleges, mondjuk az A és C pontok által meghatározott szakaszét. Az AC felezőpontja F((15,7 - 0)/2, (gyök(237,51) - 0)/2). A felező merőleges normálvektora az AC vektor, így az egyenlete

(4) 15,7*x + gyök(237,51)*y = 15,7/2*15,7 + gyök(237,51)*gyök(237,51)/2 = 242.

A (3) és (4) egyenletek alkotta egyenletrendszert megoldva a köré írt kör középpontja, azaz a kút helye,

O(12,5, 45,75/gyök(237,51)), azaz körülbelül (12,5; 2,97).

(Csak ellenőrzésképpen, innét a köré írt kör sugara gyök(12,5^2 + 45,75^2/237,51) kb. 12,8477, ahogy a második is írta.)

Igen, nem cm, hanem m.

Bocsi.

Első: Nem akartam kisebbíteni a megoldásod értékét, megvallom őszintén, én magam is koordináta-geometriával csináltam volna meg (szeretem a kg-t). Azért szóltam hozzá eredetileg, mert nem éreztem, hogy a matematikai modellre lett volna kihegyezve a válaszod, ami a kérdés volt. A második válasz is csak indirekten beszél a modellről, de picit jobban, mint az első.

A második válaszban lévő megoldás viszont jobban tetszik, mint amit akár én is csináltam volna koordináta-geometriával. A kör sugara jobban használható dolog, mint az x-y koordináták. Gondolj bele, nem véletlen, hogy a feladatban sem a fák koordinátái vannak megadva, hanem a távolságaik, hiszen azt lehet megmérni a legegyszerűbben. Aztán a sugár ismeretében már, mondjuk a mérőszalagot körzőnek használva és két fától körzőzve egyszerűen ki lehet jelölni a szökőkút helyét.

Most jobban belegondolva ezt is bele illene venni a modellbe. Szóval:

1. A három fa adja a háromszög csúcsait

2. A háromszög köré írható kör középpontja lesz a kút helye

3. A kör sugarát kiszámolhatjuk mondjuk a 2. válasz szerint

4. Egy mérőszalaggal (vagy egy megfelelő hosszúra vágott madzaggal) meg egy bottal bármelyik két fa, mint középpontok körül a földre két egymást metsző kördarabot rajzolva megszerkeszthető a kút helye.

Persze jó megoldás a koordinátás is, csak akkor a szökőkút helyének a kijelöléséhez a terepen kell majd egyenest rajzolni a földre, meg merőlegest szerkeszteni rá (egy elég hosszú madzaggak körzőzve), szóval a kör-sugaras egyszerűbbnek tűnik.

Én azt mondom, hogyha a valóságban kell kijelölni a kút helyét, akkor kell 15 méteres madzag, és az első válasza szerint

"Ki választasz két fapárt a háromból, megszerkeszted a két szakasz felezőmerőlegesének a metszéspontját, és oda kell tenni a kutat."

Ezt simán meg lehet csinálni ronda gyökös számolások nélkül.

Elég annyi, hogy rajzolunk egy-egy kört (körívet) a három fa köré, és két-két kör közös metszéspontjait összekötjük egy-egy egyenessel (a madzaggal ez is egyszerű). Az egyenesek metszéspontja a kör helye.

Egyetlen egy számra nincsen szükség a feladat megoldásához. Ezért nem értem, hogy miért van így elbonyolítva a feladat. Azért számoltam ki a koordinátákat is, mert a kérdés úgy szólt, hogy "hová kell építeni a szökőkutat" (és azért Descartes-i koordinátákban, mert azt szokták középsuliban erőltetni). A fák által meghatározott szakaszok felezőmerőlegeseinek metszéspontjába egy jó válasz, viszont a sugár önmagában még nem elég, ezért értetlenkedem a második válaszon. Persze lehet polár- vagy baricentrikus koordinátákkal is. Bizonyos szempontból mind természetes.

Meg a valóságban a kőművesek jó eséllyel azt választanák, hogy két fa törzsét összekötő szakaszon lemérik a két fa távolságának felét (12,5 méter), majd rá merőlesen lemérik, hogy milyen messze van tőle a köré írt kör középpontja (2,97 méter). (Szerencsésebb mint a fákra kötni a madzagot és rácsavarni, a fa kerülete simán lehet méteres nagyságrendű.)