Csonka kúp számítás kellene?

Remélem, nem érkezik későn a válasz :) Nem egy mindennapi feladat, az biztos.

Adatok:

M=6m

a=9m

f=12m

Először számoljuk ki az alaplap és a fedőlap leghosszabb átlóját. Az a leghosszabb átló, ami átmegy a hatszög középpontján.

Ha behúzzuk az átlókat, láthatjuk, hogy 6 háromszögre osztották a hatszöget. A központi szöget úgy tudjuk kiszámolni, hogy a 360%-ot elosztjuk a háromszögek számával, ez esetben 6-tal. Így a központi szög 60%-os.

Tudjuk, hogy ezek a háromszögek egyenlő szárúak, mivel minden átló egyenlő, és az átlók felezik egymást. Így az alapon fekvő szögek egyenlő nagyságúak. Ha felállítjuk a 180°-60°=2*alfa egyenletet, kiderül, hogy az alapon fekvő szögek is 60°-osak, vagyis minden háromszög szabályos háromszög. Ebből az következik, hogy minden oldala egyenlő a háromszög alapélének hosszával, vagyis 9, illetve 12 méter hosszúak. Mivel ezek a hosszok az átlók feleinek hosszai, ezért az átlók hossza 18, illetve 24 méter.

Most vegyük a csonka kúp azon síkmetszetét, amit a leghosszabb átlók és a test oldalélei alkotnak. Olyan, mintha félbevágnád egy késsel, és azt a síkot veszed, amit látsz. Minden csonkakúpnak a síkmetszete trapéz, ha az alapok szabályosak, akkor húrtrapéz (a két, nem párhuzamos oldal egyenlő hosszú).

Rajzoljuk le ezt a síkmetszetet, a felső vízszintes egyenes hossza 24m, az alsóé 18m, a magasság 6m. A magasságot úgy húzzuk be, hogy a két alsó csúcsból merőlegest állítunk a szemközti oldalra. A magasságvonalak így 3 részre osztják a szemközti oldalt. A középső rész hossza az alsó alap hossza, mivel a középső rész, az alsó oldal és a magasságvonalak téglalapot alkotnak. A két szélső rész ugyanolyan hosszú, és a két rész összege a felső rész fennmaradó hossza: 24-18=6 méter. Így egy rövid rész hossza 3m.

Most húzzunk egy, a két párhuzamos oldallal párhuzamost az alsótól 2m-re. A bal és a jobb részen kell látnod 2-2 derékszögű háromszöget egymásban. A párhuzamos szelők tétele alapján ki kell számolnunk a kis rész hosszát: 2/y=6/3, tehát a kis rész hossza mind a két oldalon 1-1m. A középső rész hossza még mindig 18m, így az új párhuzamos szakasz hossza 20m.

Most egy olyan csonkakúp térfogatát kell kiszámolnunk, amelynek alapjának éle 9m, fedőlapjának leghosszabb átlója 20m. Az elején számoltak alapján a leghosszabb átló pontosan a kétszerese az alapélnek, így az alapél hossza 10m (ez csak a hatszögnél van így, az ötszögnél, és a hatszögnél nagyobb szabályos síkidomoknál a koszinusztétellel lehet kiszámolni az alapélt).

Ha már tudjuk az alapéleket, számoljuk ki az alapok területét. A hatszögek (és minden más szabályos sokszög) területét úgy tudjuk kiszámolni, hogy a benne lévő háromszögek területét kiszámoljuk: szabályos háromszög esetén a területképlet a^2*gyök(3)/4, így az alaplap (t) és a fedőlap (T) területe:

t=9^2*gyök(3)/4=35,074m^2

T=10^2*gyök(3)/4=43.301m^2

Most már csak a a térfogatképletbe kell behelyettesíteni:

V=M(T^2+gyök(T^2+t^2)+t^2)/3

V=2*(43,301^2+gyök(43,301^2+35,074^2)+35,074^2)/3=2107,257m^3

Remélem, hogy érthető volt az írásom. Nem tudok képet feltölteni, de ha szükséged lenne a hozzá tartozó rajzra, privátban küldd el az e-mail címedet, és akkor oda küldök.

Most vettem észre, hogy 2 helyen is hibáztam:

1. Amiket területnek kaptunk, azokat az értékeket meg kell szorozni 6-tal, így t=210,444m^2 és T=259,806m^2

2. A helyes térfogatképlet:2*(t+gyök(t*T)+T)/3, így a végeredmény 469,384m^3.