Matek házi: Egyenlet megoldása: sin2x >= -cosx?

Mivel sin 2x = 2·sin x·cos x, ezért ezt kell megoldani:

2·sin x·cos x ≥ -cos x

Most érdemes 3 esetre bontani a szerint, hogy cos x pozitív, negatív, vagy 0:

a) cos x = 0, vagyis x = π/2+k·π

Ekkor teljesül az egyenlőség.

b) cos x > 0, vagyis   -π/2 + 2kπ < x < π/2 + 2kπ

Ekkor simán szabad egyszerűsíteni cos x-szel:

2·sin x ≥ -1

sin x ≥ -1/2

Ez ekkor teljesül: -π/6 + 2kπ ≤ x ≤ π + π/6 + 2kπ

Viszont az előbb felírt kikötést is figyelembe kell venni [ami a b) mellett van], tehát ezekre az x-ekre igaz az egyenlőtlenség ezen az ágon:

-π/6 + 2kπ ≤ x < π/2 + 2kπ

c) cos x < 0, vagyis   π/2 + 2kπ < x < 3π/2 + 2kπ

Ekkor negatív számmal osztunk az egyszerűsítéskor, tehát megfordul az egyenlőtlenség iránya:

2·sin x ≤ -1

sin x ≤ -1/2

Ez ekkor teljesül: π + π/6 + 2kπ ≤ x ≤ 2π - π/6 + 2kπ

A c)-hez tartozó intervallumkikötés miatt a megoldás most ez lesz:

π + π/6 + 2kπ ≤ x < 3π/2 + 2kπ

A teljes megoldás ennek a 3 megoldásnak az uniója. Azt már rád bízom, szólj, ha kell még segíteni benne. (Azért kis segítség: az utolsót érdemes eltolni 2π-vel, hogy össze lehessen illeszteni őket.)

Tehát ezek jöttek ki:

a) x = π/2+k·π

b) -π/6 + 2kπ ≤ x < π/2 + 2kπ

c) π + π/6 + 2kπ ≤ x < 3π/2 + 2kπ

Az elsőt érdemesebb szintén 2kπ-vel felírni, ekkor szétválik két megoldásra:

a1) x = π/2 + 2kπ

a2) x = 3π/2 + 2kπ

Ezek pont b) és c) intervallumai nagyobbik végéhez illeszkednek, a kisebb jelet ott tehát át lehet írni kisebb-egyenlőre. Vagyis a teljes megoldás ez a két intervallum:

1) -π/6 + 2kπ ≤ x ≤ π/2 + 2kπ

2) π + π/6 + 2kπ ≤ x ≤ 3π/2 + 2kπ

Ennyi a megoldás. Amit a végén írtam zárójelben, azért bocs, kapkodtam, mert mennek kellett valahová, és elnéztem. Ezt a két intervallumot nem lehet egy közös intervallumként felírni.

Amit eredménynek írtál, az ebből csak az egyik intervallum, az nem elég, a második is megoldás.

Látod egyébként, hogy hogyan jönnek ki az intervallumok? Rajzolni kell hozzá. Vagy koordinátarendszerben rajzold meg a szinusz meg koszinusz függvény képét, vagy pedig egységsugarú körön nézzed, hogy a koszinusznak mikor milyen az előjele, a szinusz meg mikor van -1/2 felett illetve alatt. Én magam az egységsugarú kört szeretem inkább, de attól még lehet, hogy neked a koordinátarendszer jön be jobban.

Egyet tanulj meg: ismeretlennel sohasem szabad osztani, csak akkor, ha az biztos nem 0!

Ebben az esetben az előző hozzászóló osztott cos x-szel, pedig előtte meghatározta, hogy cos x értéke lehet 0. Ha 0-val osztasz, hamis gyökök keletkezhetnek, ráadásul egyenlőtlenségnél (mivel nem tudjuk az ismeretlen előjelét), megfordulhat a relációs jel (ha az ismeretlen előjele negatív), erre külön oda kell figyelni.

Célszerűbb így megcsinálni:

sin(2x)>=-cos(x) Tudjuk, hogy sin(2x)=2*sin(x)*cos(x)

2*sin(x)*cos(x)>=-cos(x) /+cos(x)

2*sin(x)*cos(x)+cos(x)>=0 /kiemelünk cos(x)-et

cos(x)*(2sin(x)+1)>=0

Tudjuk, hogy a szorzat értéke akkor nemnegatív, ha a tényezők előjele megegyezik.

1. eset: Mindkét tényező negatív (vagy 0)

Mivel mindkét tényező negatív vagy 0, úgy írjuk fel, hogy a tényezők kisebbek legyenek, vagy egyenlő, mint 0:

cos(x)<=0

Érdemes ábrázolni, hogy lásd, hogy hol negatív vagy 0, ekkor láthatod, hogy:

pí/2+k*2*p<=x<=3*pí/2+k*2*pí

2*sin(x)+1<=0 /-1

2*sin(x)<=-1 //2

sin(x)<=-1/2

Ezt is érdemes ábrázolni, hogy lásd, hol kisebb az értéke -1/2-nél:

7*pí/6+k*2*pí<=x<=3*pí/2+k*2*pí

Ha ezt a két intervallumot ábrázolod egy számegyenesen, akkor a két intervallum metszete lesz a megoldás:

7*pí/6+k*2*pí<=x<=3*pí/2+k*2*pí.

2. eset: Mindkét tényező 0 vagy pozitív.

Akárcsak az előző esetben:

cos(x)>=0

Az ábrázolásból kiderül:

3*pí/2+k*2*pí<=x<=5*pí/2+k*2*pí

2*sin(x)+1>=0 /-1

2*sin(x)>=-1 //2

sin(x)>=-1/2

Ábrázolás után:

11*pí/6+k*2*pí<=x<=19*pí/6+k*2*pí

Megint csak ábrázoljuk számegyenesen:

11*pí/6+k*2*pí<=x<=15*pí/6+k*2*pí

Ha mindkét intervallum kezdő és záró elemét behelyettesíted az egyenlőtlenségbe, mindkét oldal értékének 0-nak kell lennie.

Annyit még meg kell jegyeznem, hogy mindenhol, ahol a k szerepelt, a sor végére oda kell írni, hogy k eleme Z (egész számok halmaza)

Nem tudom, hogy az, amit írtál, a te megoldásod, vagy a könyv szerinti megoldás, mert az én levezetésem szerint hibás, a számításokat többször is leellenőriztem, így az biztos, hogy jó, amit én írtam.

#4 14:01:

Nézd meg jobban, mit csináltam, látni fogod, hogy nem osztottam nullával.

Egyebként a te megoldásod is jó, és az eredmény is ugyanaz, mint az enyém. A könyv megoldása rossz.

"Ekkor simán szabad egyszerűsíteni cos x-szel"

Gondolom itt osztásra gondoltál. Mivel cos(x) értéke lehet 0, ezért oszthatsz 0-val is, még akkor is, ha kikötést tettél cos(x)>=0 vagy cos(x)<=0. Mivel 0 is lehet, ezért hamis gyököt eredményezhet, de gyökvesztéssel is járhat.

Az én megoldásom abban tér el a tiédtől, hogy szorzattá alakítottam, így elkerülhető a gyökvesztés. Azért írtam hogy sose osszon ismeretlennel, hogy ne használja ezt a módszert, mert, ha megszokja, súlyos pontokat veszthet a dolgozatnál, de akár az érettségin is!

Most sem olvastad el figyelmesen.

Én ezt írtam:

a) cos x = 0 ...

Ekkor teljesül az egyenlőség.

b) cos x > 0 ...

Ekkor simán szabad egyszerűsíteni cos x-szel

--

Szóval amikor nulla, akkor nem osztottam, utána meg nem nem nagyobb-egyenlő van, hanem nagyobb.

Olyan elemi dolgot nem vétek, hogy nullával osszak. Én figyelmesen megnéztem a megoldásodat, jónak találtam. Figyelmesen nézd meg te is az enyémet, és csak akkor kritizáld, ha utána is találsz benne hibát.

Igazad van. Azok az egyenlőségjelek feleslegesek oda.

Nem kritizáltam a megoldásodat, a te megoldásod is jó. Én csak annyit mondtam, hogy sose osszon ismeretlennel, csak akkor, ha az biztosan nem 0. Attól még, hogy te úgy határoztad meg, hogy nagyobb vagy kisebb, mint 0, ezekben az esetekben is lehet 0 a cos(x) értéke, ezért írtam azt, hogy osztHATSZ 0-val, csak ennyiben nem értek egyet a te megoldásoddal. Ráadásul sok ilyenfajta feladat van, amit (legalábbis szerintem) célszerűbb az én módszeremmel megcsinálni, de mindenki döntse el magának, hogy mi fekszik a legjobban.