Milyen függvény az, amiből hiperbola lesz?

y=(ax+b)/(cx+d)

Ez mindig az, ha (c nem 0) és (b/a - d/c nem 0)

Ja, van még sokféle hiperbolaegyenlet, ennek (amit írtam) x és y tengellyel párhuzamosak az aszimptotái.

(feltételezem, hogy középiskolás vagy, középszinten ennél többféle hiperbolát nem kell tudni)

Lehet, hogy kicsit hosszú lett, de nem akartam csak a végeredményt leírni, talán így érthetőbb.

Amit vurugya béla írt, az gyakorlatilag megfelel a legegyszerűbbnek:

y = 1/x

Ha ezt megnyújtjuk vagy összenyomjuk függőlegesen, ez lesz:

y = A/x

Ha megnyújtjuk vagy összenyomjuk vízszintesen, ez lesz:

y = A/(cx)

Ha eltoljuk az x tengely mentén:

y = A/(cx+d)

Ha eltoljuk az y tengely mentén:

y = A/(cx+d) + B

Ez pedig már pontosan ugyanaz, mint Béláé. Nem akarom levezetni, hogy hogyan, inkább egy egyszerű példán mutatom:

y = (x+2)/(x+1) = (x+1+1)/(x+1) = 1/(x+1) + 1

No most ha átszorzunk a nevezővel, akkor általánosabb alakot kapunk (nem az előző konstansokat használom, de ugye követhető a dolog):

(ax+b)(cy+d) = e

Itt az e konstans nem lehet 0 (és persze az a és c sem). Ha e=0, akkor két egyenest kapunk, bár azt is lehet elfajzott hiperbolának tekinteni.

Vagy kifejtve a szorzást:

A·xy + B·x + C·y + D = 0

Itt az a fontos, hogy az A konstans nem nulla. A többi lehet nulla is (bár bizonyos értékeknél megint csak két egyenes lesz hiperbola helyett).

Középiskolás szinten ez bőven elég.

A legáltalánosabb alak pedig ez:

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Vagyis a hiperbola egyenlete is másodfokú függvény. A konstansok megválasztása szerint ennek a képe lehet:

- parabola, pl. y=x² vagy pl. y²=x

- kör, pl. x²+y²=1

- ellipszis, pl. x²/2 + y²/3 = 1

- hiperbola, pl. x²/2 - y²/3 = 1

Valójában ha B²-4AC nagyobb mint 0, akkor lesz hiperbola. (Pont 0 esetén parabola, ha negatív, akkor meg ellipszis illetve kör.)

(Megjegyzés: B²-4AC>0 esetén is a többi konstans értékétől függően lehet két egyenes is a képe, de azt elfajzott hiperbolának szokták tekinteni.)