Matek feladatok, hogyan kell megoldani őket?

3-as a legkönnyebb.

Fel kell bontani az absz. érték jelet.

x>0 esetén abs(x)=x, vagyis

3x+4-2x=2

x=-2

De ez nem jó, mert feltettük, hogy x>0.

2. eset x<0

3x+4-2*(-x)=2

5x=-2

x=-0,4

Ez jó megoldás.

---------------

2-es.

Kikötés nem kell, a gyök alatt mindig pozitív szám áll.

Legyen x^2=a

a-gyök(a+1)-5=0

a-5=gyök(a+1) /négyzetre emelem mindkét oldalt

a^2-10a+25=a+1

a^2-11a+24=0

Másodfokú egyenlet megoldóképlete:

a1=8

a2=3

De nekünk x kell

a=x^2

Vagyis x=gyök(8) vagy x=-gyök(8)

illetve x=gyök(3) vagy x=-gyök(3)

Négyzetreemelésnél jöhetnek be hamis gyökök, mindet ellenőrizni kell. A két gyök(8)-as megoldás jó, a másik kettő hamis.

--------------

jobb 1-es:

kikötés: x>=1

gyök(x-1)+gyök(x)=gyök(x+1) /négyzetreemelés

x-1+2*gyök[x(x-1)]+x=x+1 /összevonás

x+2*gyök[x(x-1)]=2

2*gyök[x(x-1)]=2-x /megint négyzetre emelés

4*(x^2-x)=4-4x+x^2

4x^2-4x=4-4x+x^2

3x^2=4

x^2=4/3

Innen x=gyök(4/3) vagy x=-gyök(4/3)

De a kikötés miatt csak az első jó. (kb 1,1547)

-----------------

jobb 2:

a^k-t kiemelem

a^k(a-2a^2+a^3)/[a^k(1-a)] /egyszerűsítés

Innen látszik, hogy a kikötés a nem 1.

(a-2a^2+a^3)/(1-a)

Innentől nem tudom, mit kéne csinálni ,mert nem beszélek németül.

------------

Jobb 4:

Át kell írni azonos alapra, pl log_2-re mindet.

log_a b =log_c b /log_c a

Vagyis

log_gyök(2) x =log_2 x / (log_2 gyök(2) )=2*log_2 x

log_2 gyök(2)=1/2

log_2gyök(2) x =log_2 x / (log_2 2gyök(2) )=2/3*log_2 x

2*gyök(2)=2^(3/2) ezért

log_2 2gyök(2)=3/2

log_4 x=log_2 x / (log_2 4)=1/2*log_2 x

Vagyis

2*2/3*1/2*[log_2 x]^4=54

2/3*[log_2 x]^4=54

[log_2 x]^4=81

4. gyököt vonva

[log_2 x]=3 (vagy -3, de a log nem lehet negatív)

x=8

-----------

Egyelőre ennyivel tudok hozzájárulni.

Csak nem a bécsi egyetem?

1. bal:

Átrendezve:

4x^3-3x-1<=0

Ha a bal oldalt polinomosszuk x-1 -el, akkor az eredmény:

(x+0,5)(x+0,5)

Tehát eredeti egyenletünk a

(x-1)(x+0,5)(x+0,5)<=0

alakot ölti.

Látható, hogy az

x=1 és x=-0,5 helyek zérushelyek, melyeket megenged még az egyenlőség, tehát a megoldás:

x<=1

Jobb 3:

a sin(3x) -et átírjuk 3sin(x)-(4sin(x))^2 alakba.

Az egyenletet sin(x)-el osztva másodfokú egyenletet kapunk, ami azt hiszem, biztosan menni fog, van rá képlet.

A többi példát megoldotta az előző válaszoló.

Egy javítás:

Mikor a sin(3x)-et átírod, 4 nincs a négyzeten, tehát:

sin(3x)=3sin(x)-4(sin(x))^2

A 4.bal, még nem lett megoldva:

A negatív kitevőjű tényezőket a nevezőbe írjuk:

(7^x)/(5^x)-3/(3^x)=0

A hatványazonosságot felhasználva:

((7/5)^x)-3/(3^x)=0

Ebből:

(21/5)^x=3.

Logaritmizálva:

x=lg3/lg(21/5)~0,766.

Bécsi egyetem amúgy?

A link jó. Az egyik megoldása -középiskolás módon- itt:

[link]

Más módon itt:

[link]

A változók x, y, z helyett x1, x2, x3. Az együtthatókat beírva kiadja a megoldást.

Bocs!

Az első linkem vége lemaradt:

[link]

A sima másodfokúak (1a;1b;1c) gondolom mennek, kezdjük a 2-es példákkal:

2a. megoldása:

-2x^4+7x^2+4=0

Két megoldást mutatok be:

I.módszer:

Ha a kitevők párosak és egyik osztható a másikkal maradéktalanul, akkor egy célszerű helyettesítés bizonyára eredményre vezet.

esetünkben 4/2=2.

Helyettesítsünk, legyen:

t:=x^2

Ezt visszaírva eredeti egyenletünkbe:

-2t^2+7t+4=0

Tehát tiszta másodfokú egyenletre redukáltuk vissza az eredeti negyedfokút.

Ennek gyökei:

t1=4 és t2=-1/2

Most térjünk vissza a helyettesítéshez:

t1 esetén: x^2=4

Ebből x1=-2 és x2=2.

t2 esetén: x^2=-0,5.

A valós számok halmazán habár nincs megoldás, a komplex számok halmazán van, mégpedig:

x3=(gyök2/2)*i és x4=-(gyök2/2)*i

Tehát az eredeti egyenletnek négy megoldása van:

x1=-2

x2=2

x3=(gyök2/2)*i

x4=-(gyök2/2)*i

Nem meglepő, hiszen minden egyenletnek annyi megoldása van, amennyi a legmagasabb kitevője az ismeretlennek.

II. módszer.

Már az első ránézésre szembetűnő lehet, hogy egyenletünk polinomosztható x-2 vel, osszunk tehát:

(-2x^4+7x^2+4):(x-2)=-2x^3-4x^2-x-2=-(2x^3+4x^2+x+2)

-(-2x^4+4x^3)

-------------

-4x^3+7x^2+4

-(-4x^3+8x^2)

--------

-x^2+4

-(-x^2+2x)

---------

-2x+4

-(-2x+4)

-----

0

A maradék 0, tehát nem tévedtünk, így egyenletünk alakja:

-(x-2)(2x^3+4x^2+x+2)=0

A szorzat második tényezőjének x+2 vel való osztása után nyerjük a

-(x-2)(x+2)(2x^2+1)=0

alakot, melyből a megoldások leolvashatók:

x1=2; x2=-2; x3=(gyök2/2)*i; x4=-(gyök2/2)*i

Látható, hogy ez a második módszer egyszerűbb, amennyiben könnyen rájövünk, hogy hogyan lehet szorzattá alakítani.

2b. megoldása:

Itt már nem tudjuk alkalmazni az előző feladatban ismertetett I. módszert, hiszen tiszta harmadfokú egyenlettel van dolgunk:

-3x^3+4x^2+x+6=0

Az egyenlet alapvetően 3 féle módszerrel oldható meg:

I. módszer: Cardano-formulával: Nehézsége és hosszadalmassága miatt nem ismertetem (hacsak külön ez nem érdekel).

II. módszer: Nevezetes azonosság felhasználásával: Mivel a III. módszert egyszerűbbnek találom, ennek ismertetését is hanyagolom.

III. módszer:

Vegyük észre, hogy egyenletünk ismét osztható x-2 vel, az eredmény:

-3x^2-2x-3=-(3x^2+2x+3)

Tehát az egyenlet alakja:

-(3x^2+2x+3)(x-2)=0

Szorzat csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, tehát 2 esetet vizsgálunk:

1. eset:

3x^2+2x+3=0

Valós megoldása nincs, a komplex gyökök:

x1=-(1/3)+(2/3)gyök2*i

x2=-(1/3)-(2/3)gyök2*i

Nem csoda, hiszen a komplex gyökök mindíg párosával lépnek fel, és egymásnak konjugáltjai, amint az látható.

2. eset:

x-2=0

Tehát:

x3=2

Összesítve a megoldásokat:

x1=-(1/3)+(2/3)gyök2*i

x2=-(1/3)-(2/3)gyök2*i

x3=2 (egy valós gyök)

2c megoldása:

2x^5-5x^4+5x^2-2x=0

Már első ránézésre látható, hogy ezt x-el kell osztani:

2x^4-5x^3+5x-2=0

Azonnal látható, hogy x=2 megoldása az egyenletnek.

Próbálkozzunk most x=1, és x=-1 el!

Mindkettő megoldása!

Ennek ismeretében a szorzatalak:

(x-2)(x+1)(x-1)*ß=0.

Ahol ß=Ax+B, a szorzat negyedik tényezője.

Kis próbálgatással könnyen belátható, hogy:

ß=2x-1

Tehát az egyenlet:

(x-2)(x+1)(x-1)(2x-1)=0.

alakú, amiből a négy gyök:

x1=2

x2=-1

x3=1

x4=1/2