Számítsd ki az ABCD téglalap átlói által alkotott hegyesszög koszinuszát, ha AB = 16 és BC = 12?

Ez a kérdés legutóbb itt vetődött fel, válaszoltam is rá:

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

A két ismert adaton kívül semmi egyéb nem szükséges a megoldáshoz!

Egy kicsi algebrai segédlettel egy szép, általános összefüggés adódik.

Ha

a - a téglalap hosszabbik,

b - a rövidebb oldala,

akkor a feladatban említett szög koszinusza

cosα = (a² - b²)/(a² + b²)

==================

Akár a koszinusz tételből, akár a kétszeres ill. félszögek összefüggéséből kiindulva a fenti képlet jön ki.

Az előző válaszoló repertoárját kiegészíteném a félszögekre érvényes összefüggésből történő levezetéssel.

Ami az ismert adatokkal azonnal felírható

tg(α/2) = b/a

Legyen az egyszerűség kedvéért ez a hányados

b/a = p

így

p = tg(α/2)

A félszögekre érvényes összefüggés szerint

p = √[(1 - cosα)/(1 + cosα)]

Mindkét oldalat négyzetre emelve

p² = (1 - cosα)/(1 + cosα)

Ebből a cosα-t kifejezve

cosα = (1 - p²)/(1 + p²)

A p értékét visszahelyettesítve

cosα = (a² - b²)/(a² + b²)

==================

A koszinusz tételből kiindulva hasonló módon, pár sorban levezethető ez az összefüggés.

Szerintem egy kis algebrai "bűvészkedés" megéri a fáradságot. :-)

DeeDee

**********