Egy trapéz átlói egyenlőek a hosszabbik alappal (a), a szárai pedig egyenlőek a rövidebbik alappal (b). Mekkora a két alap hányadosa?

Ugyanarról, a két félinfó nem határoz meg egy trapézt.

Mivel a szárak egyenlőek ez egy húrtrapéz.

[link]

A két fölső csúcsból behúzod a magasságokat.

Akkor az 'a' oldal 3 részre lesz vágva. A közepe 'b' a két szélén lévő rész egyenlő:

(a-b)/2

Na most az átló az egy derékszögű háromszög átfogója, aminek az egyik befogója a magasság, a másik az alap-egyik szél.

A magasság Pithagorasz-tétellel számolható:

b^2=m^2+[(a-b)/2]^2

m^2=b^2-[(a-b)/2]^2

Vagyis az átlóra felírva a Pithagorasz tételt:

átló négyzete = magasság négyzete + alap maradékának négyzete

a^2=b^2-[(a-b)/2]^2+[a-(a-b)/2]^2

Ezt kéne kicsit alakítani.

[(a-b)/2]^2=(a-b)^2/4

a-(a-b)/2=(a+b)/2

a^2=b^2-(a-b)^2/4+(a+b)^2/4

4a^2-4b^2=(a+b)^2-(a-b)^2

4a^2-4b^2=4ab

a^2-b^2=ab /osszuk el b^2-el

(a/b)^2-1=a/b

a/b legyen egyenlő x-el.

x^2-x-1=0

A másodfokú egyenlet megoldóképletével:

x=[1+gyök(5)] /2=1,618

Ennyi a két alap hányadosa.

[link]

Nézz rá az ábrára:

alfa = alfa1 váltószögek.

alfa1 = alfa2 (egyenlő szárú háromszög)

Emiatt a hosszú alapon fekvő szög 2*alfa.

Az alsó háromszög szögösszege: alfa+2*alfa+2*alfa =180fok, ezért alfa=36 fok.

Az alsó háromszög "feléből" sin18°=(y/2)/x, azaz

y/x= 2*sin 18°. (a trapéz kiegészíthető egy szabályos ötszöggé!)