Egy kétjegyű szám első jegye kétszerese a második jegynek. A szám és a számjegyek felcserélésével kapott kétjegyű szám különbsége 36. Mennyi az eredeti szám, Egyenletekkel kellene?

3.

Visszafelé kell gondolkozni. Ha 40%-kkal csökkentették, akkor a 60% maradt meg, ez a 12096 Ft. A 100% akkor

60=12096/x*100

x=20160

Ez a 20160 Ft a 12%-kal megemelt ár. Tehát akkor ez az eredeti árnak a 112%-a.

112=20160/y*100

y=18000 Ft

4. Ha 18%-kal növelték, akkor a 3776 Ft az eredeti ár 118%-a:

118=3776/x*100

x=3200

Ha ez a 3200 Ft a 20%-kal csökkentett ár, akkor ez az eredetinek a 80%-a:

80=3200/y*100

y=4000 Ft

1. A helyi értékeket próbáljuk meg felírni

Az első számban az egyesek helyén álljon x. A tízesek helyén ugye az első szám kétszerese van ami ugye 2x, de mivel ez a tízesek helyi értékén áll, ezért meg kell szorozni még 10-zel is, tehát az első szám így néz ki:

Első helyen: 20x

Második helyen: x

A második számnál a számjegyeket fel kell cserélni, tehát akkor itt a második szám lesz az elsőnek a kétszerese, tehát akkor 2x, a tízesek helyén pedig így x állna. Ám mivel a tízesek helyi értékén van, ezért még meg kell szoroznunk 10-zel. A második számunk tehát így néz ki:

Első helyen: 10x

Második helyen: 2x

A különbségük 36, ezt egy egyszerű egyenlettel fel lehet írni:

(20x+x)-(10x+2x)=36

x=4 lesz a megoldás, tehát a két szám 84 és 48. A megoldásunk helyes, hiszen 84-48 valóban 36.

2. feladat:

Eredeti szám:

10x+y

y=x-3

10x+x-3+x+x-3=59

13x-6=59

13x=65

x=5

y=x-3

y=2

Eredeti szám: 52

Ha az első válaszoló kicsit szerényebb, akkor azt írta volna, hogy úgy is LEHET gondolkodni, ahogy ő tette.

Megnyugtatlak, másképp is lehet. :-)

Legyen

p1 - az első változtatás [%]

p2 - a második változtatás mértéke [%]

A - az aktuális ár

E = ? - az eredeti ár

A következőkben a változatosság kedvéért előrefele gondolkodunk. :-)

Kiindulunk az eredeti árból, ami

E

Az első változtatás után az ár

E1 = E + E*p1/100 = E(1 + p1/100)

A második változtatás után az akkori értékből továbblépve az új ár

E2 = E1 + E1*p2/100 = E1(1 + p2/100)

Az E1 értékét behelyettesítve

E2 = E(1 + p1/100)(1 + p2/100)

A feladat szerint ez egyenlő az aktuális árral, vagyis

A = E(1 + p1/100)(1 + p2/100)

Ebből az eredeti ár

E = A/[(1 + p1/100)(1 + p2/100)]

Ha a p/100 értéket q-val jelöljük, akkor

E = A/(1 + q1)(1 + q2)

Ezzel előállt a keresett képlet. A jó tulajdonsága az, hogy ha kettőnél több változtatás történik, csak a nevezőt kell bővíteni egy (1 + qi) szorzótényezővel.

A behelyettesítésnél csak arra kell figyelni, hogy áremelés esetén p ill q értéke pozitív, árcsökkentés esetén negatív. Az is látható a képletből, hogy a szorzás disztributív tulajdonsága miatt mindegy milyen sorrendben vesszük figyelembe a csökkentéseket és emeléseket

Lássuk a behelyettesítést a feladatok adataival

A 3. feladat

p1 = 12 --> q1 = 0,12

p2 = -40 --> q2 = -0,4

A = 12096

ezekkel

E = 12096/[(1 + 0,12)(1 +(-0,4))]

E = 12096/(0,88*0,6)

E = 18000 Ft

==========

4. feladat

p1 = -20 --> q1 = -0,2

p2 = 18 --> q2 = 0,18

A = 3776

ezekkel

E = 3776/[(1 - 0,2)(1 + 0,18)]

E = 3776/(0,8*1,18)

E = 4000 Ft

============

Az 1. feladat

Legyen a két számjegy

a és b ('a' a tízes, 'b' az egyesek helyén álló)

melyekre érvényes, hogy

a = 2b

Ezekkel a szám

N = 10a + b

A fordítottja

R = 10b + a

A feladat szerint

N - R = 36

vagyis

10a + b - 10b + a = 36

Összevonva

9(a - b) = 36

így

a - b = 4

A feltételt behelyettesítve

a = 2b

2b - b = 4

b = 4

====

és

a = b + 4

a = 8

====

A szám

N = 84

=====

DeeDee

*******