Van-e a szumma 1/k! Sorozatnak felső korlátja? (k: -->végtelen)? Ha van, mi az?

Nincs felso korlatja.

Legyen eloszor is 1/1 + 1/2.

A kovetkezo ket tag 1/3 es 1/4, ezek osszege nagyobb, mint 2·(1/4), tehat tobb, mint 1/2-t adsz hozza.

A kovetkezo negy tag 1/5, 1/6, 1/7, 1/8. Ezek osszege nagyobb, mint 4·(1/8), tehat tobb, mint 1/2-t adsz hozza.

Es igy tovabb... vegtelenszer adsz hozza 1/2-t az addigi tagokhoz... tehat a sorozat divergens.

Termeszetesen lehet sok masfele modon is bizonyitani, pl integralassal (integralod 1/k-t, es mivel az vegtelenhez tart, a sorozat is divergens), vagy a Riemann-fele zeta fuggveny tanulmanyozasaval (s = 1 eset).

1/ (k faktoriálisról) beszélünk?

Ez nyilvánvalóan felülről korlátos.

szumma 1/k^2 is korlátos, a faktor meg még gyorsabban nő.

De ha tényleg faktorról van szó, akkor leírom majd kicsit részletesebben is.

Bocs, ezt nagyon beneztem.

Ha faktorialisrol van szo, Taylor sorozattal kell.

Ha k 0-rol indul, a hatarertek e. Ha k 1-rol indul, a hatarertek e-1.

Keress rá a Taylor-sorbafejtésre.

e^x 0 helyhez tartozó Taylor-polinoma az alábbi:

e^x=1+x^2/1!+x^2/2!+...

x=1 helyen:

e=1+szumma 1/k!

1/k!=e-1=1,7183

Ha ez nem jut eszedbe és csak egy felső korlátot kér, akkor ki lehet indulni abból, hogy a szumma 1/k^2 konvergens. Legyen az értéke X.

k!>k^2, ha k>3

Ezért 1/k!<1/k^2, ha k>3

Bontsuk a szumma 1/k!-t két részre:

1/1+1/2+1/6+szumma 1/i! (i megy 4-től végtelenig.)

Ugyanígy 1/k^2-et két részre bontva:

X=1/1+1/4+1/9+szumma 1/i^2 (i megy 4-től)

X-1-1/4-1/9=szumma 1/i^2

Ebben a szumma helyére beírom a négyzetes szummát:

1/1+1/2+1/6+szumma 1/i!

1/1+1/2+1/6+szumma 1/i!<1/1+1/2+1/6+(X-1-1/4-1/9)

szumma 1/k! < X +0,31

X+0,31 egy felső korlátja a sornak.

X pontos értéke pi^2/6

X+0,31=1,95

Vagyis ez egy felső korlát. Amit viszonylag könnyű volt megtalálni.

Látszik, hogy annyira nem erős korlát, mert a pontos értéke pedig 1,72, ahogy fönt kiszámoltam.