Határozza meg az alábbi függvény stacionárius pontjait és lokális szélsőérték helyeit, azok típusát és nagyságát! F (x, y) =x^4+y^4-x^2-2xy-y^2. Ez jött ki első lépésként: fx' (x, y) =4x^3-2x-2y fy' (x, y) =4y^3-2y-2x, Mi a következő lépés?

Mindkét deriváltnak nullának kell lennie. Írd fel a két egyenletet úgy, és oldd meg, hogy mely x,y pároknál teljesül ez. Ezek lesznek a stacionárius pontok.

Aztán a típushoz fel kell írni a Hesse mátrixot. Ahhoz még egyszer deriválni kell őket, tehát kell f''xx, f''xy, f''yx és f''yy is. (f''xy és f''yx bizonyára ugyanaz lesz.)

A mátrix ez lesz:

(f''xx   f''xy)

(f''yx   f''yy)

A mátrixot minden egyes (x,y) pontra ki kell számolni.

Aztán ki kell számolni a Hesse mátrix-ok determinánsát. A főátló szorzatából vond ki a segédátló szorzatát. Vagyis ha a mátrix ilyen:

(A B)

(B C)

Akkor ez lesz a determináns: A·C-B²

Ha ez > 0, akkor f''xx (az a mátrix bal felső eleme) előjele határozza meg, hogy lokális minimum (pozitív) vagy maximum (negatív) van-e ebben a pontban. Ha viszont a determináns negatív, akkor ott nyeregpont van.

Ha a determináns véletlenül 0 lenne, akkor nem tudunk mit mondani ezzel a módszerrel. Remélhetőleg nálad nem lesz ilyen.

A részletekért olvass utána ennek a Hesse mátrix dolognak a jegyzeteidben, meg esetleg nézd meg mondjuk ezeket a példafeladatokat:

[link]

(ez az első feladat, amit találtam, lehet, hogy van jobb is.)

Az (1,1) jó.

A (0,0) esetében a mátrix minden eleme -2, ezért a determináns 0. Ez egy degenerált stacionárius pont. Nem tudom, itt tanultatok-e valamit, hogy tovább kellene valahogy máshogy elemezni, vagy nem...

Viszont van egy harmadik gyök is: (-1,-1). Ennek is ugyanaz a mátrixa meg determinánsa, mint az (1,1)-nek, szóval itt is lok.min van.

Még kérdezi a feladat a szélsőérték nagyságát is, ahhoz simán be kell helyettesíteni 1-et illetve -1-et az eredeti függvénybe.