Erre az egyetemi matekpéldára mi a megoldás?

Min, max meghatározásánál a konstans persze lényegtelen.

Először kezdjük a minimummal az sokkal egyszerűbb.

2*(x-1)^2+3y^2 alakra hozható (meg valami konstans a végén, de mint mondtam az tök mindegy)

Két négyzet összege akkor a legkisebb, ha mindkettő 0.

x=1, y=0 lesz a minimum hely.

Minimum érték kiszámolását meghagyom neked, ha kell.

Maximum már trükkösebb.

Ugyanebből az alakból kiindulva:

2*(x-1)^2+3y^2

Tegyük föl, hogy x rögzített. Ez akkor a legnagyobb, ha y^2 minél nagyobb.

Vagyis y^2=169-x^2-nél.

Beírva:

2*(x-1)^2+3(169-x^2)=-4x-x^2 (a konstansokat megint lehagytam)

Innen deriválhatnánk, de van egyszerűbb mód is.

-(x+2)^2 alakra hozható (+konstans)

Ennek kell minél nagyobbnak lennie. Mivel ott a - előjel az elején ez max 0 lehet.

Vagyis x=-2 y=gyök(169-4)

Két megoldást kér a feladat. A másik megoldás y=-gyök...

Megnéztem számítógéppel. Szerinte is ez a maximum.

Szóval a lépések mégegyszer:

Rögzített x mellett elgondolkozunk azon, milyen y maximalizálja a kifejezést. Gyakorlatilag y(x) függvényt állítottam elő.

Ezt beírva a függvénybe már csak egy ismeretlen van, egy deriválással meg lehet találni a szélsőértéket.

De mivel másodfokú a kifejezés, így deriválás nélkül is kijött.

Minimum

-7 (1,0)

Ezt az excel mondja, és levezetéssel is ez jön ki. Úgyhogy én biztos vagyok benne, hogy ez a jó válasz.

Maximum

502 (0,13)

Érdekes :D Nem lehet, hogy az az ellenőrző program a hibás? Na nézzük meg kicsit alaposabban. Adott az f(x;y) függvény, ennek biztosan az (1;0) pontban van a minimuma, ami ráadásul globális minimum is egyben.

[link]

A feltétel nem más, mint egy (0;0) középpontú és r=13 sugarú kör(lemez). Ez kb. olyan, mintha a felületet (amit f(x;y) határoz meg) egy ilyen hengerrel, mint "pogácsaszaggatóval" kiszúrnánk. És a metszetgörbéjükön, illetve ennek belsejében keresgélnénk. De lévén hogy f(x;y) írható 2(x-1)^2+3y^2-7 formában is, (1;0) megmarad minimumnak, mert megfelel a feltételnek.

502 az nem jó.

Ezt írtam az elején:

"Vagyis x=-2 y=gyök(169-4) "

behelyettesítve:

2*4+3*165-4*(-2)-5=506 (-2, gyök(165) )