Hogyan bizonyítjuk be, hogy n^2 (n^2-1) (n-2) (n+1) osztható 48-cal, ha n természetes szám?

48=3*16

Először lássuk be, hogy a szorzatban lesz egy 3-al osztható szám.

n^2-1=(n-1)(n+1)

n^2 (n^2-1) (n-2) (n+1)=n*n*(n-1)(n+1)*(n-2)(n+1)

n,(n-1),n+1

egymást követő számok, az egyik tuti, hogy osztható 3-al.

Még azt kell belátni, hogy osztható 16-al a szorzat.

Ez viszont nem igaz, mert ha

n páros, akkor n^2 biztos osztható 4-el

n-2 osztható 2-vel. (páros szám-2 továbbra is páros)

Illetve n és n-2 közül az egyik biztosan osztható 4-el.

Összefoglalva találtunk 2db 2-es tényezőt az n^2-ben, n-2-ben találtunk mégegyet, és (n, n-2) közül az egyikben kell lennie mégegynek.

Vagyis ha n páros a szorzat biztosan osztható 3*2^4=48-al.

Mi van, ha n páratlan?

n^2 és n-2 páratlanok

(n+1)*(n-1)*(n+1)-et kell megnézni

Ugyanaz a logika, mindhárom páros tehát 3db 2-es tényező megvan.

És legalább az egyik 4-el is osztható, az adja a 4-et.