Igaz-e, hogy x, n eleme N esetén, az (x^ (3^ (2n) ) - x^ (2^ (2n) ) / (x^4+x^3+x^2+x+1) kifejezés értéke természetes szám lesz?

Igaz! A számláló osztható x^5-1-gyel, a nevező pedig ennek osztója. A számláló x^(9^n ) - x^(4^n) alakú, ebből kiemelsz x^(4^n) -t , marad x^((9^n ) - (4^n))-1 a másik tényező. Az x kitevője itt osztható 5-tel, mert (9^n ) - (4^n) osztható (9-4)-gyel. Legyen az x kitevője 5p. Ekkor (x^5)^p-1 osztható x^5-1-gyel és kész.

Ugyanazt az azonosságot, az a^n-b^n szorzatalakját használtam többször is.