Kiválasztottunk 21 szomszédos természetes számot és összeadtuk őket, de egyet kifelejtettük az összeadásból, így az összeg 1997 lett. Melyik számot felejtettük ki?

n-től n+20-ig a számok összege: (n+n+20)*21/2=(n+10)*21

ez n+x-szel több, mmint 1997, így:

(n+10)*21=1997+n+x

21*n+210=1997+n+x

20n=1787+x

4 megoldáspár van:

x=13, n=1800/20=90,

x=33, n=1820/20=91,

x=53, n=1840/20=92,

x=73, n=1860/20=93,

de ezek közül csak az első esetben teljesül, h x‹20, így

a kifelejtett szám 90+13=103

Egy próbálgatás nélküli megoldás. :-)

Van egy számtani sor, melynél

a1 - az első elem

d = 1 - a differencia

n = 21 - a tagok száma

Sn - a sor összege

a(m) - a sor m-ik tagja

és a feltétel

Sn - a(m) = 1997

Mint azt Kinga anyó is korrekten leírta

Sn = (a1 + 10)*21

A sor m-ik tagja

a(m) = a1 + (m - 1)

A feltétel szerint

Sn - a(m) = (a1 + 10)*21 - (a1 + m - 1) = 1997

Zárójel felbontás és összevonás után marad

20*a1 - m = 1786

Most egy kis fazonírozás

20*a1 = m + 1786

20*a1 = m + 1786 - 6 + 6

20*a1 = (m + 6) + 1780

ebből

a1 = (m + 6)/20 + 89

Mivel m ≤ n = 21 lehet, a jobb oldal első tagja csak akkor lesz egész szám, ha

m = 14

======

így

a1 = 1 + 89

a1 = 90

======

Ellenőrzés

a(n) = 90 + (n - 1) = 90 + 20

a(n) = 110

így a teljes sor összege

Sn = (90 + 110)*21/2

Sn = 2100

Az m-ik tag

a(m) = a1 + (m - 1) = 90 + 13

a(m) = 103

A feltétel

Sn - a(m) = 1997

2110 - 103 = 1997

Tehát a megoldás jó!

DeeDee

**********

Bocs, egy elírás:

2110 - 103 = 1997

sor helyesen

2100 - 103 = 1997

DeeDee

********

A másik feladathoz:

Egy olyan számtani sor összegét kell meghatározni, melynél

a1 = 111

d = 111

n = 20

Sn = ?

Minden ismert, csak be kell helyettesíteni az összegképletbe.