Matek/10. osztály/másodfokú szöveges feladat! Segítenél?

Két egyenlet nem elég, több ismeretlened van.

Legyen az első kerék kerülete x, a hátsóé meg y.

A megtett út úgy jön ki, hogy kerület szorozva fordulatszámmal. Az első kerék fordulatszámát jelöljük N-nel.

Első kerék útja: 7500 = x·N

Hátsó kerék útja: 7500 = y·(N-1000)

A másik esetben x helyett x+1, és y helyett y+1 a kerület. Ennek az esetnek a fordulatszámát jelöljük M-mel.

Első kerék útja: 7500 = (x+1)·M

Hátsó kerék útja: 7500 = (y+1)·(M-625)

Ez a 4 egyenletünk van, és persze 4 ismeretlenünk is. Ez megoldható lesz. Felírom őket újra:

7500 = x·N

7500 = y·(N-1000)

7500 = (x+1)·M

7500 = (y+1)·(M-625)

Most már csak szisztematikusan végig kell menni rajta:

N = 7500/x

M = 7500/(x+1)

7500 = y·(7500/x - 1000)

7500 = (y+1)·(7500/(x+1) - 625)

Az utolsó kettő beszorozva a nevezővel:

7500·x = y·(7500 - 1000·x)

7500·(x+1) = (y+1)·(7500 - 625·(x+1))

Az elsőből:

y = 7500·x / (7500 - 1000·x)

ezt a másodikba helyettesítve:

7500·(x+1) = (7500·x / (7500 - 1000·x) + 1)·(7500 - 625·(x+1))

Osszuk mindkét oldalt 625-tel:

12·(x+1) = (7500·x / (7500 - 1000·x) + 1)·(12 - (x+1))

és egyszerűsítsünk is, ne legyenek ekkora számok:

12·(x+1) = (15x / (15 - 2x) + 1)·(12 - (x+1))

12·(x+1) = ((15x+15-2x)/(15-2x))·(11-x)

(12x+12)(2x-15) = (13x+15)(x-11)

Most már be kell szorozni:

24x²+24x -180x-180 = 13x²+15x -143x-165

11x²-28x-15 = 0

Megoldóképlettel is meg lehetne oldani, de jó nagy számok lennének benne, inkább gondolkodjunk. A minusz 15 kijön úgy, hogy (5)·(-3) vagy (-5)·(3), vagyis lehet, hogy ezekkel lehetne szorzattá alakítani.

Próbáljuk meg, hogy hátha (11x-3)(x+5): ebből 11x²+52x-15 jön ki, nem jó.

Akkor próbáljuk ki ezt: (11x+5)(x-3): ez pont 11x²-28x-15

(Ha nem sikerült volna, megcsináltam volna megoldóképlettel. Ha bonyolultnak tartottad ezt így, csináld meg azzal.)

Tehát itt tartunk:

(11x+5)(x-3) = 0

A szorzat akkor nulla, ha bármelyik tényezője nulla. Vagyis x=3 illetve 11x=-5 (tehát x=-5/11) a megoldások. Most csak a pozitív megoldás a jó, tehát x=3

Volt korábban az a képlet, hogy

y = 7500·x / (7500 - 1000·x)

Ebből kijön y értéke: y=5

Legyen x és y a két kerület. Nem kell több ismeretlen!

7500/x=7500/y+1000

7500/(x+1)=7500/(y+1)+625

Ez a két egyenlet. Beszorzol a nevezőkkel mindkettőben.

Az elsőből kifejezed az xy-t, a másikba helyettesíted az ő xy-ja helyére. Így már csak x, y és szám van a kapott egyenletedben. Ebből kifejezed pl. y-et, beírod az első egyenletbe és kész!