Hogyan kellene megoldani ezt a feladatot? (matematika/térgeometria)

A tetraéder térfogatát kérdezi a feladat.

V=alapterület*magasság/3

Először nézzük meg, mekkora lehet maximálisan az alapterület.

Mivel oldalakról van szó, ezért érdemes a Heron képletet elővenni:

[link]

Vegyük az egyik oldalt, amin csak 2dm-nél rövidebbek az élek, és ezt tekintsük alapnak.

Ugyan most hirtelen nem tudom bebizonyítani, de valszeg a legnagyobb alapterületet úgy kapjuk, ha mindhárom oldal 2dm.

Ekkor egy szabályos háromszög az alap, a területet is elég egyszerű számolni gyök(3) lesz.

Most nézzük meg a magasságot.

További 2 oldal is max 2dm lehet, ha felveszünk az alapra merőlegesen egy szabályos háromszöget, annak a magassága gyök(3). Ha megdöntjük ezt a háromszöget, akkor a tetraéder magassága csökkenhet, de biztos, hogy ennél nagyobb nem lehet.

Tehát a maximális térfogat valóban alapterület*magasság/3

vagyis gyök(3)*gyök(3)/3=1.

Ennél nagyobb térfogat nem jöhet ki.

Az a feltétel, hogy 5 oldal max 2 dm lehet.

A tetraédernek 4 oldala van, ezért 2 oldala biztosan olyan, hogy max 2dm-esek az élei.

Mi pont ezt a két oldalt vizsgáljuk, az egyik lesz az alap, és a másik ilyen lap ad egy becslést a tetraéder magasságára.

Ha rövidebb oldalakat mérsz fel ennél függőlegesen, akkor a tetraéder magassága kisebb lesz.

Tehát a logika az, HA A LEHETŐ LEGNAGYOBB MAGASSÁGOT PRÓBÁLOD ÖSSZEHOZNI, még akkor se tudod átlépni az 1dm3-as térfogatot.

Kicsit precízebben.

M=2*T/a

a az fix. Tehát M annál nagyobb minél nagyobb a T.

De a T akkor a legnagyobb, ha az oldalak a lehető legnagyobbak. Erre hivatkoztam az elején amikor az alapot becsültem. (Ebben biztos vagyok, hogy igaz, de bebizonyítani nem nagyon tudom. A Heron képletből nagyjából látszik is a dolog.)

Azt kéne belátni, hogy azok közül a háromszögek közül, amiknek minden oldala max 2dm lehet, annak a legnagyobb a területe, aminek minden oldala tényleg 2dm.

Ez nem ugyanaz, minthogy adott kerülető háromszög.

A gond ott van, hogy a Heron képletben mínuszos "tagok" is vannak. Emiatt nem teljesen nyilvánvaló a dolog.

De pont most rájöttem, hogy kell belátni.

Vegyünk fel egy háromszöget, aminek az alapja 2x. És minden oldala max y lehet.

Nyilvánvaló, hogy adott alap mellett akkor lesz maximális a magasság, ha a háromszög egyenlőszárú, és a két szár a hosszú

Ekkor a magasság gyök(a^2-x^2)

T=2x*m/2

Vagyis x*gyök(a^2-x^2)

Ezt négyzetre emelhetjük, akkor x^2*a^2-x^4 lesz, amit deriválva:

2*x*a^2-4*x^3=0

x=0 nekünk nem jó, leoszthatunk vele

a^2=2*x^2

x=a/gyök(2)

De ez túl nagy! mert 2x<=a kell legyen, vagyis x szeretne minél nagyobb lenni, de a/2-nél tovább nem tud nőni.

Tehát x=a/2-nél lesz a maximális a terület, ahogy azt sejtettem.

----------------

És most térjünk vissza az alapfeladathoz, megpróbálom elölről, ezúttal rendesen.

Válasszuk ki az egyik élt, amihez tartozó két lap olyan, hogy minden él 2dm lehet maximum. (Ilyen persze biztos, hogy van)

Legyen ez az él 2x hosszú. Egyelőre tekintsük adottnak.

Az alapterület az akkor maximális, ha az ott lévő másik két él 2-2dm.

Alapterület: 2x*m/2=x*gyök(4-x^2)

A MAGASSÁG akkor maximális, ha a "függőleges lap" tényleg függőleges, és a másik két él 2-2dm.

M=gyök(4-x^2)

Vagyis V=x*gyök(4-x^2)*gyök(4-x^2)/3

x*(4-x^2)-t kell maximalizálni, ahol x<=a/2

Deriválunk, és az jön ki, hogy x=a/2-nél lesz maximum. V=1.

Ejnye! Nem illik ugyanazt többször megkérdezni. Ha az ember látja, hogy valaki már beírta neked a választ, nem vesződik azzal, hogy leírja tartalmilag ugyanazt. Nem szép dolog mások segítőszándékával visszaélni.

http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__alkalmazott-tudoma..