Mennyi a távolság a síkig?

Próbálkozom a második feladattal, remélem nem néztem el valamit, ha igen, akkor valahogy értelemszerűen ki kell javítani, de egyelőre most így futtában így látom.

Szóval az én megoldásom eddig:

A szabályos háromszög érdekessége, hogy egyértelmű ,,középpontja'' van, pontosabban szólva: egybeesik a köréírt köt középpontja, beírt köre középpontja, súlypontja, magasságpontja.

Ez a ,,középpont'' az oldalaktól 32, a csúcsoktól 16 cm távolságra van. Ezt úgy lehet jól kiszámolni, ha először kiszámoljuk a magasságot (ami egyben a súlyvonal is). A magasságot Pitagorasz-tétellel számolhatjuk ki:

lénygében egyszerűen ,,kettévágjuk'' a szabályos háromszöget a szimmetriatengelye mentén (ami egyúttal egyszerre magasságvonal és súlyvonal is), így két (egybevágó) derékszögű háromszögre vágtam, ebből nézzük csak az egyiket (a másik úgyis ugyanolyan): átfogója 32gyök3 (az eredeti szabályos háromszög oldala), egyik befogója 16gyök3 (az eredeti szabályos háromszög oldalának fele), innen Pitagorasz-tétellel számoljuk a másik befogót, vagyis a szabályos háromszög magasságát:

[link]

a szabályos háromszög magassága tehát 48 cm.

Most azt használjuk ki, hogy a magasság (a szabályos háromszögnél) egyúttal súlyvonal is. A súlyvonalakról pedig tudjuk, hogy egyetlen közös pontban, a súlypontban metszik egymást, és ez a súlypont az egyes súlyvonalakat 1 : 2 arányban osztja (a csúcsok felé esik a hosszabb távolságarány az oldalak felé a rövidebbik).

Ennek a szabályos háromszögnek a súlypontja (ami egyúttal az összes többi különleges pontja is) tehát úgy esik, hogy a szimmetriatengelyén (= magasságán, súlyvonalán), ami 48 cm, megjelölök egy pontot, ami ezt a 48-as hosszúságot 1 : 2 arányban osztja fel. Tehát a 48-ból 16 esik az oldalak felé (egyharmados arány), 32 a csúcsok felé (kétharmados arány). A szabályos háromszög középpontja 16 cm távolságra esik az oldalaktól, és 32 cm távolságra esik a csúcsoktól.

A feladat azt kéri, hogy képzeljünk el egy tetraédert, amelynek az alapja éppen ez a szabályos háromszög, a ,,felső'' csúcsa pedig épp 34 cm távolságra van ennek az alapnak az oldalaitól. Rajz alapján itt is Pitagorasz-tétellel lehet számolni, azaz észre kell venni egy derékszögű háromszöget ,,elrejtve'' ebben a tetraéderben:

- kiindulok az alapként szolgáló szabályos háromszög középpontjából

- felmegyek a tetraéder (mint gúla) ,,felső'' csúcsáig (így éppen a tetraéder magasságán ereszkedem felfelé, ennek az útnak a hosszát nem ismerjük, a feladat éppen ez hogy ezt számoljuk ki, jelölöm addig is m-mel)

- a tetraéder csúcsától a tetraéder oldallapján át (az oldallap egy egyenlő szárú háromszög, szóval ennek magasságán, tengelyén át) leereszkedem az alapul szolgáló szabályos háromszög oldalának felezőpontjáig. Ez a hossz épp 34 cm, ezt maga a feladat adta meg

- és innen megyek vissza a szabályos háromszög középpontjához, erről tudjuk már, hogy 16 cm, ezt ott írtam, ahol a szabályos háromszög súlypontjáról írtam (,,a súlypont 16 cm távolságra van az oldalaktól'').

Látszik, hogy épp egy derékszögű háromszög mentén tettem meg a ,,körutazást'', szóval ez az a derékszögű háromszög, amit észre kell venni ,,elrejtve'' a tetraéderben. Ennek az oldalai: 16 cm (egyik befogó), m (ismeretlen, ez a másik befogó), és 34 cm (átfogó). A kívánt ismeretlen, az m, vagyis a ,,másik befogó'' szintén Pitagorasz-tétellel számolható:

[link]

vagyis a tetraéder magassága 30 cm, és (bár más megfogalmazással) a feladat épp erre kérdezett rá.

NA nekem nem lett volna türelmem így leírni :)

Úgyhogy itt van 3 sorban az 1-es:

C-ból rajzolunk egy 8 cm-es szakaszt a lap síkjából kifelé. Legyen a másik vége E.

Nyilvánvaló módon E pont távolsága AD-tól éppen a DE távolság.

CE 8 cm, CD 6 cm, CDE egy derékszögű háromszög, átfogója 10cm.