E^A=B mátrix-egyenlet (2x2-es négyzetes mátrixok esetén ) azonosság-e?

Mindkét esetben azonosságot kapsz. Többféleképpen is lehet ezeket igazolni, kérdés, hogy melyik módszert tanultátok?

A definíció szerint e^A megkapható egy végtelen sor összegeként: A^n/n! -t kell összegezni 0-tól végtelenig.

Az A^n mindkét esetben szépen néz ki, ha felírod n=1,2,3,4,5 esetére, látni fogod a szabályosságot benne, ezért viszonylag könnyen lehet összegezni a teljes sort is.

Az általános módszer persze az, hogy az A-nak kiszámolod a sajátértékeit, sajátvektorait, majd ezek segítségével diagonális v. Jordan-normálalakra hozod, és utána veszed az exponenciális függvényüket. Azaz ha pl. A=R*D*R^{-1}, ahol D diagonális (v. Jordan-normálalakú), akkor e^A=R*e^D*R^{-1} és e^D-t könnyű megkapni.

Az első esetben A diagonálizalható, 2 különböző sajátértéke van -ln(x), ln(x), a második feladatban A-nak csak Jordán-normálalakja van, kétszeres sajátértéke neki az ln(y).

(Van egy 3. módszer is, de nem valószínű, hogy ezt várnák el, ez pedig azon alapszik, hogy e^A-nak a deriváltja A'*e^A, ezért, ha e^A=B, akkor az A'*B=B' differenciálegyenlet teljesülni fog rájuk, amit könnyű ellenőrizni. Innen pedig egyszerű technikai lépésekkel igazolható, hogy ha A'*B=B' teljesül, akkor B=C*e^A, és kiszámolható, hogy C az identitás, azaz B=e^A)