SOS! Sehogy sem tudok rájönni a megoldásra, vagyis inkább az egyszerűsítés menetére?

A feladat

3/(2x + 5)² + 4/(2x + 1)² = 7/(2x + 5)(2x + 1)

A nevező nem lehet nulla, ezért

x ≠ -5/2 és x ≠ -1/2

Legyen

2x + 5 = a

2x + 1 = b

ezzel

3/a² + 4/b² = 7/(a*b)

közös nevezőre hozva

(3b² + 4a²)/a²b² = 7/(a*b)

Csábító az egyszerűsítés, de gyökvesztést okozhat.

Ezért a nevezőkkel átszorozva

ab((3b² + 4a²) = 7a²b²

Nullára rendezve

ab((3b² + 4a²) - 7a²b² = 0

a*b-t kiemelve

(A) ab(3b² + 4a² - 7ab) = 0

A zárójelben levő összeget egy kicsit átalakítva

3b² + 4a² - 7ab = 3(b² - 2ab + a²) - ab + a² = 3(b - a)² - a(b - a) = (b - a)[(3(b - a) - a] =

= (b - a)(3b - 4a)

Ezt behelyettesítve a (A) egyenletbe

a*b(b - a)(3b - 4a) = 0

Sikerült szorzattá alakítani az egyenletet, innen már könnyebb lesz.

Nézzük sorban a szorzat tényezőit

Az első

a*b = 0

Behelyettesítve az eredeti értékeket

(2x + 5)(2x + 1) = 0

Felbontva, összevonva

4x² + 12x + 5 = 0

Ennek gyökei

x1 = -1/2

x2 = - 5/2

Ezeket az elején már kizártuk, tehát nem megoldások.

A második

b - a = 0

2x + 1 - (2x + 5) = 0

-4 ≠ 0

Ez sem megoldás

A harmadik

3b - 4a = 0

3(2x + 1) - 4(2x + 5) = 0

6x + 3 - 8x - 20 = 0

-2x = 17

x = - 17/2

========

DeeDee

**********

Egyszerűbben is lehet: csak be kell szorozni a közös nevezővel, ami most (2x+1)^2×(2x+5)^2.

Így a baloldalon 3(2x+1)^2+4(2x+5)^2 marad, a jobboldalon pedig: 7(2x+1)(2x+5).

Mindkét oldal "egyszerű"másodfokú kifejezés, tehát, ha felbontod a zárójeleket, összevonsz, rendezed az egyenletet, ha jól látom, a másodfokú tagok ki fognak esni, és egy egyszerű elsőfokú egyenlet marad.

Írj privát e-mailt (azt gyorsabban megkapom), ha ez így kevés, és kéne a teljes levezetés!

B. Békési Beáta (érthető matek a neten)