Egy háromszög szögeinek aránya 2:3:4, míg a kerülete 18 cm. Mekkorák a háromszög oldalai?

A feladat

α:ß:γ = 2:3:4

K = 18

----------

a, b, c = ?

Elég csak két szöggel dolgozni, ugyanis

γ = 180 - (α + ß)

Egy hagyományos jelölésű háromszögben írható a szinusz tétel

a/b = sinα/sinß

a/c = sinα/sinγ

A törteket eltüntetve

b*sinα = a*sinß

c*sinα = a*sin[180 - (α + ß)]

vagyis a két egyenlet

b*sinα = a*sinß

c*sinα = a*sin(α + ß)

A két egyenletet összeadva

sinα(b + c) = a[sinß + sin(α+ ß)]

A

K = a + b + c

egyenletből

b + c = K - a

ezt behelyettesítve

(K - a)sinα = a[sinß + sin(α+ ß)]

Ebből

a = K*sinα/[sinα + sinß + sin(α+ ß)]

legyen

K/[sinα + sinß + sin(α+ ß)] = Q

így

a = Q*sinα

========

Az 'a' értékét behelyettesítve a

b*sinα = a*sinß

egyenletből

b = Q*sinß

=========

A

c*sinα = a*sin(α + ß)

egyenletből

c = Q*sin(α + ß)

=============

Hiányzanak még a szögek

A szögek arányából

2x + 3x + 4x = 180

így

x = 20

vagyis

α = 40°

ß = 60°

γ = 80°

Ezek után lehet behelyettesíteni. :-)

DeeDee

**************