Haromszog secialis korei kozti osszefugges. Van egy egyszeru bizonyitas, emlekszik valaki a trukkre?

Először is a K, S, M, O pontokról csak annyit használunk fel, hogy S a KM szakaszon (Euler-egyenes) fekszik (az nem kell, hogy épp 1:2 arányban osztja azt), míg az O ezen kívül valahol.

Itt egy ábra a jelölésekkel: [link]

Egy szinte direkt módszer a bizonyításhoz az, hogy megmutatjuk, hogy a PRO és PQO szögek 180°-ra egészítik ki egymást, ami némi szögszámolással azonnal adódik.

A PRO-t kicsit tovább számolhatjuk annak segítségével, hogy MRO egy egyenlő szárú háromszög, aminek PR a szimmetriatengelye: MRO=2*(180°-PRO).

MSO szög pedig épp fele az MRO szögnek a középponti és kerületi szögek tételét alkalmazva MOS köréírt körére.

Tehát MSO=180°-PRO.

Hasonlóan a másik oldalon PQO-t tovább alakítva: OQK=2*PQO. A középponti-kerületi szögek tételével pedig az OSK köréírt körére: OSK=180°-1/2*OQK=180°-PQO.

Tehát a PRO szöget kifejeztük MSO-val, míg a PQO szöget OSK-val. De MSO+OSK=180°, ezért (180°-PRO)+(180°-PQO)=180, azaz PRO+PQO=180°, azaz PROQ húrnégyszög.

A szögek elhelyezkedése igényelne némi diszkussziót, amit irányított szögekkel való számolással ki lehetett volna kerülni, de ezzel nem bajlódtam, ez itt nem egy matekverseny :)