Tisztan geometriai bizonyitas a kovetkezore?
AB szakasz hossza 10 egyseg. Az AB szakaszon felveszunk egy P pontot, majd AP es BP fole szabalyos haromszogeket szerkesztunk. P mely helyzetenel lesz a teruletosszeg minimalis?
Legalabb 4-fele kulonbozo megoldast tudok ra adni (kozepekkel, teljes negyzetek, stb.), de engem egy tisztan geometriai megoldas erdekelne, olyan, ahol nem kell szamolni semmit
Elore is koszonom
válasza:Használjuk az alábbi ábra jelöléseit:
A legfontosabb szerepet a Q pont játssza a bizonyításban. Q nem más, mint a szabályos háromszögek csúcsainak (C-nek és D-nek) a felezőpontja.
1. lépés: bizonyítsd be, hogy - P helyzetétől függetlenül - Q mindig az e egyenesre esik, ahol e az ABE háromszög középvonala.
2. lépés: Az ABE háromszög területe állandó, ezért a hiányt, azaz az ECPD négyszög területét kell maximalizálni.
3. lépés: ECPD egy parallelogramma, ezért a területének felét, azaz ECD területét kell maximalizálni.
4. lépés: CXQ és QYD egybevágó háromszögek, ezért ECD területe megegyezik az EXYD négyszög területével.
5. lépés: az EXYD négyszög területe mindig legfeljebb akkora, mint az EXZ háromszög területe (ami P-től függetlenül állandó), a kettő különbsége éppen a DYZ háromszög.
6. lépés: tehát EXYD területe akkor maximális, ha EXZ területével egyezik meg, azaz ha DYZ elfajul egyetlen ponttá, azaz P az AB felezőpontja.
Kicsit vázlatosan írtam le a megoldást, de gondold át a lépéseket, egyik sem igényel semmi számolást, csak tisztán geometriai gondolatokat.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!