Számítsuk ki a következő szorzatot, ha n eleme N: E= (x^2-x+1) (x^4-x^2+1). (x^2^n-x^2^n-1+1) Hogy írhatjuk fel? Köszönöm.

Vizsgáljuk tehát a kövi sorozatot tau(x,m):= produktum ((x^2^n-x^2^n-1+1) n=1 től m-ig).

Együtthatókat a hármas modulusra nézve vizsgálom.

tau(x,m) fokszáma 2^(m+1)-2

tau(x,1) nincs róla mit beszélni.

tau(x,2)=x^6 - x^5 + x^3 - x + 1. Alsó részen 0 maradéknál 1, 1 maradéknál -1; felső részen 0 maradéknál 1, 2 maradéknál -1 az együttható.

tau(x,3)=x^14 - x^13 + x^11 - x^10 + x^8 - x^7 + x^6 - -x^4 + x^3 - x + 1

Alsó részen 0 maradéknál 1, 1 maradéknál -1; felső részen 1 maradéknál -1, 2 maradéknál 1 az együttható.

tau(x,4)=x^30 - x^29 + x^27 - x^26 + x^24 - x^23 + x^21 - x^20 + x^18 - x^17 + x^15 - x^13 + x^12 - x^10 + x^9 - x^7 + x^6 - x^4 + x^3 - x + 1

Alsó részen 0 maradéknál 1, 1 maradéknál -1; felső részen 0 maradéknál 1, 2 maradéknál -1 az együttható.

tau(x,5)=x^62 - x^61 + x^59 - x^58 + x^56 - x^55 + x^53 - x^52 + x^50 - x^49 + x^47 - x^46 + x^44 - x^43 + x^41 - x^40 + x^38 - x^37 + x^35 - x^34 + x^32 - x^31 + x^30 - x^28 + x^27 - x^25 + x^24 - x^22 + x^21 - x^19 + x^18 - x^16 + x^15 - x^13 + x^12 - x^10 + x^9 - x^7 + x^6 - x^4 + x^3 - x + 1.

Alsó részen 0 maradéknál 1, 1 maradéknál -1; felső részen 1 maradéknál -1, 2 maradéknál 1 az együttható.

Az a sejtésünk, hogy tau(x,2k) esetén Alsó részen 0 maradéknál 1, 1 maradéknál -1; felső részen 0 maradéknál 1, 2 maradéknál -1 az együttható. Míg tau(x,2k+1) esetén

Alsó részen 0 maradéknál 1, 1 maradéknál -1; felső részen 1 maradéknál -1, 2 maradéknál 1 az együttható. (folyt. köv.)

Összegezve az eredményeket tau(x,3)=(x^16+x^8+1)/(x^2+x+1),

tau(x,4)=(x^32+x^16+1)/(x^2+x+1.

tau(x,5) esetén (x^64+x^32+1)/(x^2+x+1). Hasonlóan tau(x,4) esetén (x^32+x^16+1)/(x^2+x+1) stb.

Tehát tau(x,n)=(x^(2^(n+1))+x^2^n+1)/(x^2+x+1).

A sejtés felállítása után jöhet egy indukciós bizonyítás.

Sz. Gy.