Igaz-e, hogy az f (x, y) = x*gyök (1-y^2) +y *gyök (1-x^2) művelet nem lehet asszociatív a teljes ]-1,1[ nyílt intervallumon? Ezen belül melyik az a legbővebb részintervallum ahol az asszociatív tulajdonság már elérhető?

Ha az x értéke sina és az y értéke sinb, akkor x*y értéke sin(a+b) egy kis csavarral, azaz csak akkor, ha cosa és cosb is pozitív. Ez a megadott intervallumban igaz, könnyen látható.

Olyan a és b szögek nem jöhetnek szóba, melyek összege 90°, mert arra 1 lenne az eredmény, kifutunk az adott nyílt intervallumból. Épp ez a bibi, mert ha azt akarom, hogy a művelet többször ismételgethető legyen, nem jó, mivel bármely intervallum esetén előbb-utóbb 90° lesz a szögek összege. Tehát szerintem csak a 0 egyelemű intervallum jó.

Próbáld ki az asszociativitást konkrét példán - pl. sin84°, sin85°, sin87° esetén... Látszik, hogy nem igaz, mert a szögek összege ugyan asszociatív lenne, de negytív cos helyett mindig az ellentettje szerepel.

f(sin α, sin β) = sin(α+β)

Ez minden szögre igaz lesz, azokra is, amiknél |α+β|>π/2. Viszont csak a szinuszok azonosak, ha szögekben gondolkodunk, akkor α+β helyett π-α-β lesz akkor, amikor asszociatívan a következő műveletre kerül sor.

Vagyis a függvény a két szöget vagy összeadja, vagy π-ből levont összeget ad attól függően, hogy milyen a szögek nagysága.

Ezért akkor van gond, ha két szög összege nagyobb 90°-nál.

Nézd pl. ezt: α=20°, β=20°, γ=80°

f(sinα,sinβ) = sin(40°) ez idáig OK

f(f(sinα,sinβ),sinγ)) = sin(40°+80°) = sin(60°)

f(sinβ,sinγ) = sin(20°+80°) = sin(80°)

f(sinα,f(sinβ,sinγ)) = sin(20°+80°) = sin(80°)

és sin 60 nem ugyanannyi, mint sin 80

Nohát, én is ugyanezt mondtam, csak utólag copypaste-tel rendeztem a félmondatokat - nem kellett volna. De az szerintem még érthető az enyémből is, hogy a negatív cosinus a dolog rákfenéje, amint az bongolo is leírta konkrét példával.

Próbálom precízen megfogalmazni a másik kitételemet is:

Ha két szög összege pont 90 fok, akkor kifutunk a megadott alaphalmazból! Így a megadott halmazon a megadott függvény nem ad meg műveletet! (Mert az eredmény nem mindig esik a halmazba...) Csak a zárt [-1;1] -en lenne művelet algebrai értelemben.

Igen, vurugya béla, számomra érthető volt a tiédből is, de a kérdezőnek valószínű nem, ezért írtam konkrét példát.

Abban igazad van, hogy zárt [-1;1] intervallum kellene, hogy a művelet eredményével újra lehessen műveletet végezni. Az asszociativitás viszont zárt intervallum esetén sem teljesülne (tudom, hogy ezt te tudod, Béla, a kérdezőnek írom.)

Zárt [-1;1] intervallum esetén is csak a {0} halmazra lenne a függvény asszociatív.

Egyetértünk.

Gyártottam egy új feladatot is ezt a feladatot csavargatva... (itt a # jel az alsó indexet jelöli)

Ha a#(n+1)=2*a#n*gyök(1-a#n^2), akkor milyen a#1 esetén lesz a sorozat első 10 tagja szig. mon, növő?

Épp ez az, hogy nem garantált, de ahogy gondolod...

Ha legalább a művelet elvégezhetősége fontos, kérlek, hagyd nyitva az intervallumodat, mert kifutsz a ]-1;1[ - ből...

Vurugya Béla biztos nincs most net-közelben, mondok én.

Az asszociativitás nem csak annyi, hogy A*B*C tetszőlegesen zárójelezhető. Az "általános asszociativitás" tetszőleges számú operandus közötti zárójelezhetőséget jelent. Szóval mondjuk A=sin(25°) esetén A*A*A*A*A (ahol * jelenti az f() műveletet) ugye jó ellenpélda, az már nem asszociatív, mondjuk (A*A*A)*(A*A) és (A*A)*(A*A)*A nem ugyanannyi.

Az "általános asszociativitás" egyébként már nem az asszociativitás definíciója, hanem a következménye. Teljes indukcióval bizonyítható a 3 operandusú asszociativitásból és abból, hogy a művelet attól művelet, hogy zárt arra a halmazra nézve, amire értelmezve van.

Itt most az a gond, hogy az f() művelet nem zárt. Bárhogyan is szűkíted az intervallumot, lesz olyan, hogy f(a,b) már kimegy az intervallumból, kivéve, ha a=b=0. Szóval az egyetlen lehetséges intervallum a {0} halmaz.