Mi a megoldása az alábbi feladatoknak?

4. feladat

Egy kétjegyű számhoz hozzáadjuk a fordítottját. Így 2-vel többet kapunk, mintha a kétjegyű számból levontuk volna a fordítottját, és a különbséget megszoroztuk volna hárommal. Melyik lehetett az eredeti kétjegyű szám?

Ha

N = 10a + b - az eredeti szám

R = 10b + a - a fordítottja

akkor a feladat

N + R = 3(N - R) + 2

Behelyettesítve a helyi értékes alakokat

10a + b + 10b + a = 3[10a + b - (10b - a)] + 2

Összevonás után a

19b - 8a = 1

egyenlet marad.

Ez egy szép Diofantoszi egyenlet, melynek megoldására van módszer.

A megoldás szükséges és elégséges feltétele, hogy (19, 8)|1

Egy fontos tétel ezzel kapcsolatban:

bármely a és b számok közös osztója felírható a két szám lineáris kombinációjaként.

Vagyis, ha sikerülne az '1'-t a 19 és 8 lineáris kombinációjaként felírni, azaz

19x - 8y = 1

összeget előállítani, akkor a

19b - 8a = 19x - 8y = 1

egyenletből adódna, hogy

b = x

és

a = y

Az x és y értékek meghatározására szolgál az Euklideszi ill. a módosított Euklideszi algoritmus.

Ha bővebben érdekel, nézz utána valamelyik számelméleti könyvben

A neten a

[link]

vagy a

[link]

oldalon olvashatsz róla, példával illusztrálva.

Itt csak a mi példánkra vonatkozó levezetést írom le

A 19 és a 8 közös osztója a módosított Euklideszi algoritmussal

19 = 2*8 + 3

8 = 2*3 + 2

3 = 2 + 1

A közös osztó - az 1 - felírása 19 és 8 segítségével

Először a fenti egyenletekből kifejezzük a maradékokat:

3 = 19 - 2*8

2 = 8 - 2*3

1 = 3 - 2

Az első egyenletet behelyettesítjük a másodikba

2 = 8 - 2(19 - 2*8) = 8 - 2*19 + 4*8

2 = 5*8 - 2*19

Mivel az első egyenlőség szerint

3 = 19 - 2*8

ezeket behelyettesítjük a harmadik egyenlőségbe

1 = 3 - 2

1 = (19 - 2*8) - (5*8 - 2*19) = 1*19 - 2*8 - 5*8 + 2*19

Összevonás után

1 = 3*19 - 7*8

Ezzel előállítottuk a közös osztót a számok kombinációjaként, tehát

19b - 8a = 3*19 - 7*8

ebből adódik, hogy

b = 3

a = 7

így a feladat megoldását jelentő szám:

N = 73

=====

a fordítottja

R = 37

=====

Ellenőrzés

N + R = 3(N - R) + 2

N + R = 73 + 37 = 110

3(N - R) + 2 = 3(73 - 37) + 2 = 3*36 + 2 = 110

Tehát a megoldás jó!

DeeDee

***********

6. feladat

Itt az egyik megoldás vázlata.

A behelyettesítést rád bízom. :-)

[link]

DeeDee

********