Mi a vektor pontos definíciója?

A vektorok a vektortérnek nevezett halmaz elemei.

Vektortér:

Legyen F egy test. Egy V nemüres halmazt vektortérnek nevezünk az F test felett, ha

V halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, V × V → V függvény, ∀ u, v ∈ V elempárhoz hozzárendel egy és csak egy V-beli elemet (u+v), valamint

F és V között értelmezve van egy skalárral való szorzás nevű művelet, F × V → V függvény, ∀ λ ∈ F és v ∈ V elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy V-beli elemet (λv),

úgy, hogy az alábbi azonosságok, úgynevezett vektortér-axiómák teljesülnek:

V az összeadásra nézve kommutatív csoportot, Abel-csoportot alkot, azaz az összeadás:

asszociatív: ∀ u, v, w ∈ V: u + (v + w) = (u + v) + w.

kommutatív: ∀ u, v ∈ V: u + v = v + u.

létezik neutrális elem: 0 ∈ V, V nullvektora: v + 0 = v, ∀ v ∈ V.

invertálható: ∀ v ∈ V: ∃ olyan -v ∈ V additív inverz: v + (-v) = 0.

Skalárral való szorzás disztributivitási szabályai:

∀ λ ∈ F és u, v ∈ V: λ(u + v) = λu + λv.

∀ λ, μ ∈ F és v ∈ V: (λ + μ)v = λv + μv.

∀ λ, μ ∈ F és v ∈ V: λ(μv) = (λμ)v.

∀ v ∈ V: 1v = v, ahol 1 az F test egységeleme.

Formálisan tehát úgy definiálhatjuk a vektortereket, figyelembe véve, hogy \mathbf{F} = \langle F,+,-,0,\cdot,1 \rangle egy test,

az F feletti vektortér egy algebrai struktúra, a következő formában

\mathbf{V} = \langle V,\oplus,-\!\!-,\mathbf{0},F,+,-,0,\cdot,1,\star \rangle

úgy, hogy

\langle V,\oplus,-\!\!-,\mathbf{0}\rangle Abel-csoport,

\star : F \times V \mapsto V skalárral való szorzás, melyre teljesülnek a fent említett disztributivitási szabályok.

Ekkor a V vektortér struktúráját a következőképpen is jelölhetjük

\langle V,\oplus,-\!\!-,\mathbf{0},\mathbf{F},\star \rangle

V elemeit vektoroknak, F elemeit skalároknak nevezzük.

Megkülönböztetünk úgynevezett speciális vektortereket is, amelyeken még egyfajta szorzás is értelmezett.

Ilyenek például a skaláris szorzattal ellátott euklideszi terek.