Miért nem az a határérték definíciója, hogy |a (n0) -A|<=ε?

Szerintem te nem erted a lenyeget, a definicio kicsit bonyolult, de minden szava fontos! (E-vel jelolom az epszilont - bocs)

Tehat pontosan ugy szol, hogy a(n) sorozat hatarterteke A, ha minden pozitiv E-hoz letezik olyan N(E) termeszetes szam, amire igaz, hogy ha n>N(E), akkor |a(n) - A|<E. (egy-ket helyen <= is szerepelhet, lenyegi kulonbseg nincs.)

Vagyis: itt N(E) az egy epszilontol fuggo egesz szam lesz. Ez valojaban egy index lesz, ami azt mondja meg, hogy a sorozat nala nagyobb elemei mind epszilonnal kisebb ertekkel ternek el a hatarertektol. Az N ezert kuszobszam.

Pelda:

1,1/2,1/3,1/4,1/5,...

A nullahoz tart. Tehat 0 a hatarerteke.

Legyen E=1/10. Hatarozd meg milyen N(E) az az index, amitol kezdve minden n>N-re |a(n)-A|<E. Vagyis mit is kerdez a feladat? Hogy melyik az az N kuszobindex amitol kezdve a sorozat elemei kisebb mint 1/10-del ternek el a hatarertektol, azaz a 0-tol.

Behelyettesitve:

|a(N)-0|< 1/10, azaz a(N) < 1/10. Tudjuk, hogy N=10-re pont 1/10-edet kapunk, es minden ennel nagyobb n-re kisebbet: 1/11, 1/12, ... Tehat az IGAZ, hogy MINDEN n>10-re teljesul, hogy az a(n) sorozat elemei kevesebb mint 1/10-del ternek el a hatarertekuktol - a 0-tol. Ez matematikai nyelven igy nez ki |a(n)-A|<E.

Mit vettel eszre? Hogy N erteke fugg E valasztasatol. Es azt is, hogy KELL az, hogy a nala nagyobb indexu elemekre igaz csak. Pl. az a(5)=1/5-re nem lenne igaz.

Na most meg nem vagyunk kesz, mert mit is mond a definicio? Hogy tetszoleges E-hoz letezzen egy N kuszobszam. Es ez a lenyeg, nem eleg azt bizonyitani, hogy pl E=1/10-hez van, hanem hogy MINDEN E-hoz LETEZIK egy N ilyen szam. Ezert szoktak ezt N(E)-nal jelelolni, mert fugg epszilon valasztasatol.

Remelem segitettem.

Oke, mar ertem a problemat. Az, hogy n>n0 vagy mar n0 is jo, az nem olyan fontos. Ami viszont fontos, ahogy te is irtad masodjara, hogy minden ennel nagyobbra is igaznak kell lennie. Ha mar n0 kuszobszamra is teljesul a feltetel, akkor lehet ugy, hogy minden n>=n0 eseten ... De az hogy minden ennel nagyobb n-re igaz az fontos.

Kicsit konyhanyelven megfogalmazva ez annyit jelent, hogy van egy sorozatunk annak egy hatarerteke. Barhogy is valasztok egy pici pozitiv szamot (E), mindig lesz a sorozatban egy index (N), aminel az osszes nagyobb indexu elem! (minden n>N-re) a sorozat a hatarerteketol legfeljebb ezzel a pici szammal lehet nagyobb vagy kisebb (|a(n)-A|<=E).

Az pedig, hogy az egyenloseg megengedett-e ugyanolyan kulonbseg, mint az, hogy a te definiciodban |a(n0)-A|<=E van, az enyemben meg |a(n0)-A|<E. Ez tipikusan tanartol fugg, szoval ugy tanuld meg, ahogy o mondja.