Érintő meredekség kiszámítása, hogyan?

A (3,2) pont rajta van a görbén. Tehát ha lederiválod a függvényt, f'(x0) megadja a meredekséget az x0 helyen (nálad x0=3). Van egy (x0,y0)=(3,2) pontod, meg a meredekség, egyenest kell belőle csinálni. Így megy az (x0,y0) ponton keresztülmenő m meredekségű egyenes egyenlete:

(y-y0) = m·(x-x0)

Ha nem tudod, mi az az y meg m, akkor elég messziről kell kezdeni tanulnod. Gondolom, egyetemista vagy, mit tanulsz?

Az y a koordinátarendszer második koordinátája, amit ordinátának szoktak nevezni (az első koordinátát meg abszcisszának, vagy röviden x-nek.)

Az m pedig a meredekség szokásos neve. Biztos emlékszel erre:

y = m·x + b

Középiskolában ez szokott lenni az egyenes egyenlete. Itt is az m a meredekség.

Én ezt írtam fel:

y-y0 = m·(x-x0)

Ez egy olyan egyenes egyenlete, ami átmegy az (x0, y0) ponton, és m a meredeksége. Át is rendezheted:

y = m·x + (y0-m·x0)

az utóbbi tag lenne a b, vagyis ahol az y tengelyt metszi. Ha felrajzolod ezt az (x0,y0) pontot meg m meredekséget egy koordinátarendszerbe, látni fogod, hogy tényleg ott metszi az y tengelyt.

A deriválás:

Szokásosan egy függvény olyan alakú, hogy

y = ....

ahol a ....-ban mindenféle függvénye szerepel az x-nek. Lehet ugyanezt úgy is írni, hogy:

f(x) = ....

ahol egyszerűen az y-t lecseréltem f(x)-re, a jobb oldal maradt ugyanolyan, mint az előbb. Az ilyen függvénynek úgy gondolom, ismered a deriválási szabályait.

Egy görbét vagy függvényt viszont fel lehet írni implicit módon úgy is, hogy nincs rendezve y-ra, mint ebben az esetben is. Itt is viszont az y helyébe beírhatsz f(x)-et, ha úgy jobban érthető a dolog:

x² + 2x·f(x) − 2·f²(x) = 9

Ha ezt deriválni kell, akkor is úgy kell eljárni, mint normál esetben, csak rá kell jönni néhány turpisságra. Megmutatom ezen a függvényen:

Az összeg külön-külön deriválható, abban nincs turpisság. x² deriváltja természetesen 2x. A második tag egy szorzat, a szorzat szabályai szerint deriválódik:

((2x)·f(x))' = (2x)'·f(x) + (2x)·(f(x))'

Most jön a turpisság: f(x) deriváltja egyszerűen f'(x). Tehát a teljes tagból ez lesz:

(2x·f(x))' = 2·f(x) + 2x·f'(x)

A harmadik tag pedig 3·(f(x))². Ebben az (f(x))² az összetett függvény szabályai szerint deriválódik. Biztos tudod: (f(g(x))' = f'(g(x))·g'(x) tehát külső függvény deriváltja szorozva a belső deriváltjával.

Jelen esetben a külső függvény a négyzetfüggvény, a belső pedig az f(x) függvény. Vagyis a harmadik tag deriváltja:

(3·f²(x))' = 3·2·f(x)·f'(x)

Végül az egyenlőségjel jobb oldalán 9 van, annak deriváltja 0.

A teljes egyenlet deriváltja tehát:

2x + 2f(x)+2x·f'(x) - 6f(x)·f'(x) = 0

Most pedig át kell rendezni, hogy f'(x) legyen a bal oldalon, minden más meg a jobbon. De először elosztom az egyenletet 2-vel, hogy egyszerűbb legyen:

x + f(x) + x·f'(x) - 3·f(x)·f'(x) = 0

f(x) + x = f'(x)·(3f(x) - x)

f'(x) = (f(x) + x)/(3f(x) - x)

Kész a derivált.

Egyébként lehet úgy is csinálni, hogy nem írod át az y-t f(x)-re, hanem hagyod y-nak, csak persze akkor is úgy kell kezelni, hogy ha az y-t deriválni kell, abból y' lesz. Persze úgy is ugyanaz jön ki belőle, csak talán kevesebbet kell írni. Én magam úgy szeretem magyarázni, hogy amíg nincs gyakorlatod az implicit függvények deriválásában, addig valószínű jobb f(x)-et írni az y helyébe, aztán meg majd menni fog simán y-nal is. Vannak viszont, akiknek eleve úgy érthetőbb, ha y van odaírva, nem pedig f(x).

Szóval ha az y-t hagyjuk ott, akkor ugyanez a deriválás így alakul:

Eredeti függvény:

x² + 2xy - 3y² = 9

deriváltja:

2x + 2y + 2x·y' - 6y·y' = 0

y'-re kifejezve:

y' = (y+x)/(3y-x)

Természetesen ugyanaz jött ki így is.

----

Megvan a derivált, de mit lehet vele kezdeni? Szükségünk van a meredekségre, ami a derivált értéke az x=3 pontban. De csak azt tudjuk, hogy y' = (y+x)/(3y-x), ebben nem csak x van, ahova 3-at tudunk helyettesíteni, hanem y is. Most jön a másik turpisság: Tudjuk, hogy a (3,2) pont rajta van a görbén, tehát x=3-hoz y=2 tartozik, tehát az y-ok helyébe 2-t kell helyettesíteni. Vagyis a derivált ennyi:

y' = (2+3)/(3·2-3) = 5/3

Ez lesz a meredekség, tehát m = 5/3

Értesz mindent?