Függvények. Valaki segítene?

1. f: nevező nem lehet 0

k: a hozzárendeléssel van a baj

m: lásd f-nél

s: gyök alatt nem lehet negatív szám

2. f(x)=f(-x): páros függvény, pl x^2

f(x)=-f(-x): páratlan függvény, pl. x^3

3. attól függ, milyen padok vannak... ha minden padban 2 gyerek ül, akkor a) igen, b) nem, c) nem, d) nem, e) igen

4. L->H létezik, mert minden lakóhoz 1 házat rendel. H->L azért nem létezik, mert egy lakóhoz több házat rendelne.

A többit már nem volt türelmem megcsinálni... nem nehezek, 10 perc alatt kész leszel vele szerintem, ne itt írasd meg a leckédet.

Az ötödik feladat megoldását leírtam (nem éppen 10 perc alatt)

[link]

Elnézést, ha valamit elszámoltam benne.

6.

legyenek A elemei: k, l, m

legyenek B elemei: p, q

A->B függvények:

1) k->p, l->p, m->p

2) k->p, l->p, m->q

3) k->p, l->q, m->p

4) k->q, l->p, m->p

5) k->q, l->p, m->q

6) k->p, l->q, m->q

7) k->q, l->q, m->p

8) k->q, l->q, m->q

Összesen (3 alatt 0) + (3 alatt 1) + (3 alatt 2) + (3 alatt 3) = 2^3 = 8 lehetőség.

Egyik sem megfordítható, mert B legalább egyik eleméhez legalább 2-t kellene hozzárendelni (skatulya-elv).

B->A

1) p->k, q->k;

2) p->k, q->l;

3) p->k, q->m;

4) p->l, q->k;

5) p->l, q->l;

6) p->l, q->m;

7) p->m, q->k;

8) p->m, q->l;

9) p->m, q->m;

Összesen: 3*3 = 9 lehetőség. Egyik sem megfordítható, mert akkor A nem minden eleméhez rendelnénk hozzá.

8.

x^2 - 2x - 3 = (x-3) * (x+1)

x^2 + 3x + 2 = (x+2) * (x+1)

Így a (x^2 - 2x - 3) / (x^2 +3x + 2) tört (x+1)-gyel egyszerűsíthető:

(x^2 - 2x - 3) / (x^2 +3x + 2) = (x-3)/(x+2)

f: R -> R\{-2; -1} x -> (x-3)/(x+2)

(értelmezési tartomány: R\{-2; -1})

A = azok a természetes számok kellenek, ahol a tört értéke legfeljebb 0. Tehát vagy a számláló, vagy a nevező negatív, a másik pozitív. Mivel természetes számokat keresünk, a nevező nem lehet negatív, tehát csak a számláló lehet negatív.

Tehát megoldandó az x - 3 ≤ 0 egyenlőtlenség. Eszerint x = 0 vagy x = 1 vagy x = 2 vagy x = 3.

B = azokat az egész x-eket keressük, amire a tört értéke egész.

A tört ±∞-ben határértéke 1, tehát ezt az értéket nem fogja felvenni.

Most már csak azt kell meghatározni, hogy B-be behelyettesítve A értékeit, egészet kapunk-e?

(0-3)/(0+2) = -3/2 nem egész

(1-3)/(1+2) = -⅔ nem egész

(2-3)/(2+2) = -¼ nem egész

(3-3)/(3+2) = 0 egész

Innentől A unió B = B unió {1; 2; 3}

A metszet B = {3}

6.

A 23:11-es válasz szerintem csak részben jó. Ugyanis lehetnek olyan esetek is, amikor az értelmezési tartomány nem a teljes A halmaz (illetve a második résznél nem a teljes B halmaz)

A: 3 elemű: k,l,m

B: 2 elemű: p,q

A->B függvények:

Az A halmazt 3 csoportra bonthatjuk:

- X: amik nem részei az értelmezési tartománynak

- P: amik részei, és p-re képeznek le

- Q: amik részei, és q-ra képeznek le.

Ha X üres halmaz, akkor érvényes a 23:11-es válasz. Ekkor P-be egy elemet vagy beválasztunk, vagy nem, tehát 2³=8 eset (8 féle függvény) lehet. Q-ba mennek a maradék elemek, azzal nem kell számolnunk.

Ha X 1 elemű (3 féle módon), akkor P-be a maradék 2-ből 2² módon (tehát 3·2²) tudunk elemeket beválasztani. (Ezen 3·4 függvény közül egyébként 3·2 invertálható: amikor P és Q is 1-1 elemű.)

Ha X 2 elemű (3 féle módon), akkor P-be a maradék 1 elemet vagy beválasztjuk, vagy nem, tehát 3·2 függvény lehet. Ez mind invertálható.

Ha X 3 elemű, az már nem függvény.

Tehát lehet 8+12+6=26 függvény, amiből 6+6=12 invertálható.

B->A irányban:

A következő csoportok lehetnek:

- X: amik nem részei az értelmezési tartománynak

- K: amik k-ra képeznek le

- L: amik l-re képeznek le

- M: amik m-re képeznek le

Ha X üres halmaz, akkor p-t betehetjük K,L,M bármelyikébe, aztán ugyanúgy q-t is, vagyis 3·3=9 függvény lehet. Amiknél p és q ugyanabba a csoportba került, az a 3 függvény nem invertálható, a többi 6 igen.

Ha X 1 elemű (p vagy q van ott, tehát 2 módon lehet), akkor a maradék elem K,L,M bármelyikébe mehet, tehát ez 2·3 függvény. Mind a 6 invertálható.

Ha X 2 elemű, az már nem függvény.

Tehát lehet 9+6=15 B->A függvény, amik közül 6+6=12 invertálható.

Természetesen nem véletlen, hogy mindkét iránynál 12 invertálható függvény volt, ezek egymás inverzei.

7.

Nevezzük c-nek az átfogót, c=10 cm

A c-hez tartozó magaság m=3 cm

Legyen az AB oldal hossza a, a BC oldalé pedig b.

Ha felrajzolod a háromszöget, látszik, hogy CD párhuzamos a c oldallal, tehát a két hasonló háromszögre felírható ez:

c/m = a/b

Ebből:

b = a·m/c

A kerület 2(a+b): K(a) = 2a(1 + m/c) = 2,6a

A terület (a·b): T(a) = a²·m/c = 1,3a²

Brrr, bocs, nagyon félreszámoltam már magát az arányt, úgy látszik, késő van már.

Szóval helyesen az arány ilyen:

c/m = a/(m-b)

c - b·c/m = a

b = (c-a)·m/c

A kerület meg terület már könnyen megy ebből, nem írom fel, nehogy azt is elrontsam :)