Analízis, függvények? Bővebben lent

1)

(tg(x)-sin(x))/x^3 =

ez 0/0 alaku hatarertek, a l'Hospital szaballyal az erteke ugyanaz, mint:

(1/cos^2(x) -cos(x))/3x^2 =

=(1-cos^3(x))/cos^2(x)3x^2 ami megint 0/0 alaku megint l'Hospital:

3cos^2(x)sin(x))/(-2cos(x)sin(x)*3x^2 + cos^2(x)*6x)=

[3cos^2(x)/(-6cos(x)sin(x)*x + 6cos^2(x))] * [sin(x)/x]

az elso tag hatarerteke 0-nal 3/6=1/2

a masodik tag hatarerteke 1.

Tehat az eredeti hatarertek 1/2

x/√(1-cos(x))

x/√(1-cos(x))

Az ertek negativ ha x<0

pozitiv ha x>0

tehat kozos hatarertek csak akkor letezhetne, ha az 0 lenne,

viszont letezhet a jobb es baloldali hatarertek.

Mivel ez igy maceras a gyok miatt, nezzuk meg hova tart a negyzete, aztan akkor majd annak a gyokehez tart a fuggvenyunk (pozitiv gyokhoz jobbrol, negativ gyokhoz balrol)

A negyzet:

x^2/(1-cos(x)

l'Hospital alapjan ez oda tart ahova:

2x/sin(x) -> 2

Tehat a fuggvenyunk √2 -hoz tart a + iranybol kozelitve 0-hoz

es -√2-hoz a negativ iranybol kozelitve 0-hoz.

L'Hospital nelkul, hmm, biztos lehet, de nem lesz egyszeru.

Na majd meg gondolkodom rajta.

Taylor soros megoldas elfogadhato?

Ambar ha L'Hospitalrol nem tanultatok, akkor valoszinuleg Taylor sorrol sem. Amugy is lenyegileg ugyanaz a ketto.

Mindegy, ha tanultatok, akkor az 1. Taylor sora igy kezdodik:

1/2 +1/8 *x^2 + 13/240 *x^4 +...

ami a 0-nal 1/2

:)

Na megyek vissza gondolkodni, valoszinuleg ez se az ami neked kell.

tan(x)-sin(x)=sin(x)(1-cos(x))/cos(x)=

sin(x)*2sin^2(x/2)/cos(x)

(tan(x)-sin(x)) /x^3 =

sin(x)/x * 2 sin^2(x/2)/( x^2 cos(x))=

sin(x)/x * 2sin^2(x/2)/4(x/2)^2 cos(x) =

sin(x)/x * sin(x2)/(x/2) * sin(x/2)/(x/2) * 1/2cos(x) ->1/2

A masodikra eleg az x^2/(1-cos(x)) hatarerteket megtalalni,

abbol mar kovetkezik a fuggvenye is ahogy feljebb irtam.

x^2/(1-cos(x)) = x^2(cos(x) +1)/(1-cos^2(x)) =

x^2(1+cos(x))/sin^2(x) =

= x/sin(x) * x/sin(x) * (1+ cos^2(x)) -> 2

Na ez se volt nagyon nehez.