Matek házi: Hogy csináljam meg?

A 2.e feladaton megmutatom:

[link]

h)

2·lg 2 + (1+x)·lg 3 - lg(3^(2x)+27) = 0

2·lg 2 + (1+x)·lg 3 = lg(3^(2x)+27)

És most kell elkezdeni gondolkodni. A jobb oldallal nem lehet semmit se csinálni, mert + van benne, ezért nézzü a bal oldalt. 2·lg 2 az első. Ezt a logaritmus azonosságot érdemes észrevenni itt:

lg a^b = b·lg a

vagyis a hatványkitevő kimegy a logaritmus elé szorzónak. Most ott van kint, a fordított művelettel hozzuk be a logaritmus belsejébe. Ez lesz:

2·lg 2 -> lg 2² vagyis lg 4

Pont ugyanezt lehet csinálni a következő taggal is, tehát az (1+x)-ből hatványkitevő lesz:

lg(4) + lg(3^(1+x)) = lg(3^(2x)+27)

Még mindig a bal oldalt nézzük. Most ezt a másik logaritmus azonosságot kell észrevenni:

lg(a·b) = lg(a)+lg(b)

vagyis a szorzásból összeadás lesz.

Esetünkben:

lg(4·3^(1+x)) = lg(3^(2x)+27)

Ez után már mindkét oldalról elhagyhatjuk a logaritmust (mert szigorúan monoton függvény), a belsejüknek is egyformának kell lennie:

4·3^(1+x) = 3^(2x)+27

Érdemes mindenhol 3^x-et csinálni. Ezeket a hatványozás azonosságokat kell használni:

a^(x+y) = a^x · a^y

a^(x·y) = (a^x)^y

Ez jön ki:

4·(3^1)·(3^x) = (3^x)²+27

12·3^x = (3^x)²+27

Most vezessünk be egy új változót: z=3^x :

12z = z² + 27

Innen ugye menni fog? Oldd meg a másodfokú egyenletet, lesz két gyöke. Mivel z=3^x, abból látni fogod, mi az x.

Bocs! Valami "szemét" belekerült. Újra küldöm:

[link]

Az i) eléggé egyszerű, csak durvának néz ki.

Mivel a logaritmus szigorúan monoton függvény, ha két szám logaritmusa azonos, akkor a két szám is azonos. Vagyis el lehet hagyni a külső lg-t:

x^(lg(x^(lg x))) = x

Most meg a hatványozásról lehet ugyanazt a monotonitást elmondani. A hatványkitevőknek egyformának kell lenni, tehát:

lg(x^(lg x)) = 1

Most az lg(a^b) = b·lg(a) azonosság miatt:

(lg x)(lg x) = 1

A bal oldal (lg x) négyzete. Két esetben lehet ez a nágyzet 1: plusz 1 és minusz 1 esetén:

a) lg x = 1

x = 10

b) lg x = -1

x = 1/10

Ez a két megoldás lett.

j)

Elkezdem, aztán fejezd be:

Vegyük mindkét oldal kettes alapú logarítmusát (azért pont ketteset, bert belül is szerepel egy log_2, szóval remélhetjük, hogy így majd valami kiesik vagy hasonló.)

Felhasznált azonosságok:

log(³√a) = 1/3·log(a)

log(x^a) = a·log(x)

log(a/b) = log(a) - log(b)

Mivel 4=2²: log_2(4) = 2

1/3·(-3 + log_2(2x²))·log_2(x) = 2·log_2(x) - 2

A log_2(2x²)-et alakítsd át te, szerintem menni fog. Az kell még hozzás, hogy log(a·b)=log(a)+log(b)

Utána vezess be egy új változót log_2(x)-re, lesz belőle egy másodfokú egyenleted, amit meg kell oldani.

Sok sikert.

f)

A logaritmus definíciójából következik, hogy 3^(log_3(y)) = y.

Vagyis ezek az egyenletek:

log_5(x) + y = 2

x^y = 1/125

A második mindkét oldalából érdemes 5-ös alapú logaritmust vonni (125=5^3) :

y·log_5(x) = -3

Ezek után érdemes bevezetni egy új változót:

z = log_5(y)

z+y = 2

y·z = -3

Ebből egy másodfokú egyenlet jön ki, oldd meg, menni fog.

d) Ez néz ki talán a legdurvábban :)

x^(log_8(y)) + y^(log_8(x)) = 4

log_4(x) - log_4(y) = 1

Nem is tudom trükközés nélkül megoldani, de attól még lehet, hogy csak nekem nem jutott eszembe valami egyszerűbb dolog. Azért megoldható! Az eleje még teljesen egyszerű is:

A másodikból érdemes kiindulni. log(a/b)=log(a)-log(b) miatt:

log_4(x/y) = 1

vagyis

x/y = 4

x = 4y

Ezt helyettesítsük be az elsőbe:

(4y)^(log_8(y)) + y^(log_8(4y)) = 4

Ez viszont már nagyon ravasz. Mi lehet az első tag? Kicsit általánosabban: Mi lehet ez az (a·y)^log(y) jellegű dolog? (Tetszőleges 'a' szorzóval és tetszőleges alapú logaritmussal.) Tegyük fel, hogy ez y-nak a v-edik hatványa. Mi lehet a v?

(a·y)^log(y) = y^v

Vegyük mindkét oldal logaritmusát:

log(y)·log(ay) = v·log(y)

egyszerűsítve log(y)-nal:

log(ay) = v

Ha ez lett a v, akkor ezt az érdekes azonosságot kaptuk:

(ay)^log(y) = y^(log(ay))

tehát felcserélődhet az ay meg az y!

Vagyis esetünkben (a=4, 8-as alapú logaritmus) az első tag pont olyanná alakítható, mint a második! Ez lesz az egyenletünk:

y^(log_8(4y)) + y^(log_8(4y)) = 4

y^(log_8(4y)) = 2

A 4 meg a 8 is 2 hatvány, szóval szerintem érdemes a log_8-at átalakítani log_2-be. Ezt az összefüggést lehet használni:

log_a(x) = log_b(x)/log_b(a)

most a=8, b=2, log_2(8) = 3

(log_2(4) pedig 2)

y^(log_2(4y)/log_2(8)) = 2

y^(2/3 + log_2(y)/3) = 2

Mindkét oldal kettes alapú logaritmusát véve:

(2/3 + log_2(y)/3)·log_2(y) = 1

z=log_2(y) behelyettesítéssel:

(2 + z)·z = 3

Innen már csak egy sima másodfokú egyenlet, lesz neki egy pozitív meg egy negatív gyöke, azokból y könnyen kifejezhető (az egyik 1-nél nagyobb, a másik 1-nél kisebb lesz), és x=4y miatt x is egyszerűen kijön. Számold ki őket.

-----

Mindenesetre egy megjegyzés: Ha beadod ezt a megoldást házi feladatként, akkor a tanár nagyon rákérdezhet, hogy hogyan is jött ki ez-az-amaz benne, szóval jól meg kell értened!!