Két darab tömör fakocka ugyan olyan méretű. Furhatunk-e akkora lyukat az egyikre amelyiken át tudjuk dugni a másikat? A furt fakockán anyagnak kell maradnia.

Allitsd a csucsara, ekkor a vetulete a vizszintes sikra egy hatszog lesz, amibe mar furhato lesz egy lyuk amin keresztul oldaliranyban atmozgathato lesz a kocka.

Ha a kocka ele a,

akkor a fuggoleges vetuletenek az elei √3a/2 hosszuak.

Egy ilyen szabalyos hatszogbe irhato kor sugar: √3a/2 * √3/2=3a/4 ez a maximalis sugaru kor ami kivaghato a kockabol, illetve ez mar nem vaghato ki anelkul hogy szetessen.

A kocka alaplapja kore irhato kor sugara a/√2, ez az ami minimalisan szukseges.

9/16>1/2

ezert

3a/4>a/√2 tehat mondjuk egy 0,73a sugaru kor keresztmetszetu lyuk vaghato lesz a kockaba az egyik testatloja korul, es ezen mar at lehet a masik kockat csusztatni.

" a fuggoleges vetuletenek az elei √3a/2 hosszuak."

√3a/2, hmmm, ez nem lesz jo, nezzuk megegyszer.

eloszor is a jeloleseket:

Ha a csucsra allitod, a kockat, akkor a vetulete a vizszintes sikra egy hatszog lesz.

Mondjuk ABCDEFGH csucsokbol all a kocka,

ABCD az alapja, EFGH a fedolap, E van az A folott es az oramutato jarasaval ellenkezo iranban betuztuk fel a lapokat.

E van az A folott

F van a B folott

G van a C folott

H van a D folott

A csucsara allitva mondjuk az A csucs van alul, G csucs van folul.

Ekkor a vetuletekre A=A'=G'

A vetuletet a B'C'D'H'E'F' hatszog alkotja.

Ennek megfelelo el sorozat a kockan nyilvan a BCDHEF hatszog, ami persze nem sikbeli.

Viszont minden ele ugyanolyan szoget zar be vizszintes sikkal a kocka szimmetriaja miatt.

A vetulet az az eredeti el hossza szorozva a vizszintes sikkal bezart szogenek a cosinusaval.

Az AG-vel bezart szog az viszonylag egyszerubben szamithato, amibol kiszamithato a vizszintessel bezart szog is, hiszen a ket szog osszege 90 fok.

Szoval akkor a kerdes az, hogy milyen szoget zar be a kocka testatloja egy nem illeszkedo oldallal (barmelyikkel)

Mondjuk nezzuk az egyseg kockat. Az origobol az (1,1,1)-be meno testatlo mondjuk a (1,0,0)-bol az (1,1,0)-ba meno ellel bezart szoge mekkora.

A ket vektor: (1,1,1) es (0,1,0) lesz.

Ezek skalaris szorzata 1.

a skalaris szorzat az a ket vektor hossza szorozva a kozrezart szog cosinuszaval.

(1,1,1) hossza √3

(0,1,0) hossza 1.

Tehat a testatloval bezart szog cosinusa 1/√3

akkor a vizszintesssel bezart szog szinusza 1/√3

Vagyis akkor a vizszintessel bezart szog cosinusa:

√(1-1/3) = √(2/3)

Vagyis a fuggoleges vetulet elei a fuggoleges vetuletenek az elei √(2/3)a hosszuak, ami kisebb mint √3a/2.

Egy ilyen hatszogbe beirt kor sugara

√(2/3) a * √3/2 = 1/√2

ami pont akkora mint a kocka alapja kore irhato kor sugara. Tehat egy akkora kor keresztmetszetu lyukat mar nem lhet bele vagni amin a kocka atferne, de ez nem jelenti persze azt, hogy a feladat nem megoldhato.

A kerdes most az, hogy egy √(2/3) elu szabalyos hatszogbe lehet-e egy egysegnyi elu negyzetet rajzolni, ugy , hogy a negyzetnek legfeljebb 1 csucsa erintse a hatszog oldalat.

A hatszog egyik atloja menten a kozeppontbol merj fel 1/2 egyseget. Ez akkor a csucstol √(2/3) - 1/2 = 0.316496581 tavolsagban lesz,

Ha ez a pont a diagonalisra meroleges vonalon merve legalabb fel centire van a hatszog oldalaitol, akkor keszen vagyunk, belefer a negyzet.

A tavolsag (szerkessz abrat) √3/2 *((√(2/3) - 1/2)*2) =0.548188159

vagyis rendben vagyunk.

Ha megfelelo kor alaku lyuk nem is fer bele, negyzet alaku meg igen.