2011 darab racionális szám számtani közepe 1. Melyek ezek a számok, ha tudjuk, hogy fordítottan arányosak a 2,6,12, . ,2011*2012 számokkal?

Legyen az arányossági tényező f. Akkor a számok:

f/(1·2), f/(2·3), f/(3·4), ..., f/(2011·2012)

Ha az átlaguk 1, akkor az összegük 2011.

Vagyis:

Σ f/(k(k+1)) = 2011

ahol a szumma k=1 és 2011 között megy.

f = 2011 / Σ 1/(k(k+1))

Szóval az S(n) = Σ 1/(k(k+1)) értékét kellene kitalálni, ha 1-től n-ig megy a k.

Próbálkozzunk kis n-ekkel, hátha jön ötlet:

S(1) = 1/(1·2) = 1/2

S(2) = 1/2 + 1/(2·3) = 2/3

S(3) = 2/3 + 1/(3·4) = 9/12 = 3/4

S(4) = 3/4 + 1/(4·5) = 15/20 = 4/5

Úgy tűnik, hogy S(n) = n/(n+1) lesz! Már csak be kellene ezt bizonyítani.

Teljes indukcióval bebizonyítható, ezt rád bízom, próbáld meg. Ha kell segítség, szólj.

Bizonyítani kell, hogy

S(n) = Σ 1/(k(k+1)) = n/(n+1)

Kis n-ekre már megnéztük, hisz onnan jött az ötlet a képletre, de azért hivatalosan a teljes indukciót így kell kezdeni:

S(1) = 1/(1·2) = 1/(1+1) tényleg olyan, vagyis teljesül a tétel n=1-re.

Feltesszük, hogy k-ra is teljesül, tehát:

S(k) = k/(k+1)

Ezzel az indukciós feltétellel megnézzük, mi a helyzet n=k+1-re:

S(k+1) = 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + ... + 1/(k(k+1) + 1/((k+1)(k+2))

S(k+1) = S(k) + 1/((k+1)(k+2))

Most felhasználjuk az indukciós feltételt, hogy S(k) = k/(k+1)

S(k+1) = k/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))

a közös nevező (k+1)(k+2):

S(k+1) = (k(k+2) + 1)/((k+1)(k+2))

S(k+1) = (k²+2k + 1)/((k+1)(k+2))

S(k+1) = (k+1)²/((k+1)(k+2))

Lehet egyszerűsíteni (k+1)-gyel:

S(k+1) = (k+1)/(k+2)

Tehát n=(k+1)-re is baláttok, hogy igaz, hogy S(n)=n/(n+1), ezzel minden n-re igazoltuk.