Hogy oldjuk meg ezt a feladatot? (térgeometria)

Képzeld el a csonkakúpot és a beleírt gömböt. Vágd ketté képzeletben, és rajzold le amit "látsz".

Van egy érintőtrapézod, benne egy körrel, és tudod, hogy az egyik alapja r, a másik alapja 2r.

Az érintőnégyszögekről tudjuk, hogy a szemközti oldalak összege megegyezik, tehát a két alap összege egyenlő a szárak összegével. Azt is tudjuk, hogy mivel egyenes csonkakúpról van szó, hogy a két szára egyenlő hosszú. Mindezekből következik, hogy a szára 1,5r nagyságú.

A trapézból ki tudsz vágni egy r és m oldalú téglalapot, így marad két egybevágó derékszögű háromszöged. A befogók 0,5r és m, az átfogó pedig 1,5r.

0,25r^2+1=2,25r^2

r=gyök(2)/2

Most már csak be kell helyettesíteni r-t és m-et a térfogat/felszínképletbe.

Fejben számoltam, de remélem, nem hibáztam. Azért nem árt, ha te is átgondolod magadban.

A 3. válaszoló elszámolta. A két szemközti oldal összege 6r tehát a szárak hossza 3r. Én másként számoltam:

[link]

Befejezni csak Neked kell!

Ha kiszámoltad, a végeredményeket is összehasonlíthatjuk:

[link]

Remélem nem számoltam el.

Akkor határozott a feladat, ha a gömb az alap- és fedőlapot valamint a palástot is érinti.

Legyen

r = a fedőlap sugara

R = 2r - az alaplap sugara

m = 1dm - a csonka kúp magassága

Ha felrajzolod a csonka kúp tengelymetszetét benne a gömbbel, akkor kapsz egyenlő szárú trapézt, melynek minden oldalát érinti a beleírt kör.

A trapéz hosszabbik alapja 2r = 4r

a rövidebbik meg 2r,

a szárak hossza meg 3r a geometriából adódóan.

Ahhoz, hogy a felszínt és a térfogatot ki tudd számolni, ismerni kéne a sugarakat.

Ha a metszetrajzon a rövidebbik alapot merőlegesen levetíted a hosszabbikra, a két szélen előáll egy derékszögű háromszög, melynek a hosszabbik befogója a magasság (m), a rövidebbik a két alap különbségének a fele [(2R - 2r)/2 ], az átfogó pedig 3r.

Ha erre a háromszögre felírod a Pithagorasz tételt, az egyenletből megkapod a 'r' értékét, a nagyobbik sugár ennek a kétszerese.

Így minden adat megvan a feladat kérdéseinek megválaszolásához.

Ha valami nem világos, kérdezz nyugodtan.

DeeDee

**********

Szerintem most te számoltad el.

Ha r = 5*gyök(2)/2, akkor R=5*gyök(2), így r^2=12,5; R^2=50 és r*R=25.

A térfogat eszerint: 10/3*pi*(50+25+12,5)=875pi/3=916,298 cm^3

A felszínhez kell az a, de tudjuk, hogy a=3r=15*gyök(2)/2 és R+r=3r=a, így

A=pi*(50+12,5+112,5)=175pi=549,779 cm^2 (ez stimmel mindkettőnknél)

Az utolsó válaszoló értékei helyesek.

Egy kis algebrai ténykedés után az adódik, hogy

a térfogat

V = m³*(7π/24)

a felszín

F = m²*(7π/4)

Ebből adódik egy érdekes összefüggés

A térfogat és a felszín aránya:

V/F = m/6

Ha a magasság egységnyi, mint a példában is, akkor

F/V = 6

======

DeeDee

*******