Logaritmus feladathoz segítség?

log3[(x^2-8x+16)*(x-2)^2]=0

Bármelyik logaritmus eredménye 1,ha nulladik hatványra emeled. Azaz, ami zárójelben van, elvégzed és egyenlővé teszed 1-gyel.

Lesz az egyenletben negyedfokú és másodfokú tag is, ezeket ugyanúgy kezeled, mintha másodfokúak lennének: bevezetsz x^2 helyére pl egy 'a' tagot, így az x^4=a^2, és máris másodfokú az egyenleted. Használva a megoldóképletet megkapod a gyököt/gyököket, és az 'a'-t visszahelyettesítve x^2-té, megkapod az x-eket.

Majdnem jó az első megoldás, csak elfeledkezett egy fontos dologról: a kikötésekről. Ezért bejönnek neki hamis gyökök.

Én más úton indultam el:

Érdemes észrevenni, hogy x²-8x+16 az egy nevezetes szorzat: (x-4)²

Először kikötéseket kell tenni:

x-2 > 0

x²-8x+16 > 0

A második mindig teljesül, ezért a kikötés csak az, hogy:

x>2

2·log_3(x-2) + log_3(x-4)² = 0

Hatvány logaritmusa azt tudod mi ugye? Ez:

2·log_3(x-2) + 2·log_3(x-4) = 0

Ezt csak akkor szabad csinálni, ha x>4! Mivel lehet kisebb is (2 és 4 között), vagy elkezdünk abszolúértékezni, vagy inkább más irányba indulunk el. Tegyük azt. Szóval az előző lépés helyett inkább a 2-vel szorzást vigyük be a logaritmuson belülre hatványként:

log_3(x-2)² + log_3(x-4)² = 0

log_3(x-2)² = -log_3(x-4)²

log_3(x-2)² = log_3(x-4)⁻²

Valaminek a -1-egyik hatványa az a reciproka:

log_3(x-2)² = log_3(1/(x-4)²)

Mivel a logaritmus függvény szigorúan monoton, ezért ez akkor fog teljesülni, ha a zárójelen belüliek egyformák:

(x-2)² = 1/(x-4)²

Hát, nem ússzuk meg az abszolút értéket, most, a gyökvonáskor fog bejönni:

x-2 = 1/|x-4|

(A bal oldalon nem kell absz.ért., mert x>2)

Két ágon kell megoldani:

a) ha 2 < x < 4

x-2 = 1/(4-x)

(x-2)(4-x) = 1

Oldd meg ezt a másodfokú egyenletet, lesz neki maximum két gyöke (most csak egy). Amelyik gyök nem esik a 2..4 tartományba, azt el kell dobni. (Most bele fog esni, nem kell eldobni.)

b) ha x ≥ 4

x-2 = 1/(x-4)

(x-2)(x-4) = 1

Ezt is oldd meg, lesz 2 gyök, amelyik nem nagyobb 4-nél, azt dobd el.

Ami maradt gyök a két ágból, az lesz a megoldás.