Levezetné valaki négyzetgyök alatt tg x integráltját?

Többféleképp megoldható. Alkalmazz helyettesítést:

legyen: gyök tgx=t, így x=arctg(t^2)

Ill. dx=tdt/1+t^4

Visszahelyettesíted, és parciális törtekre bontasz.

mondjuk helyettesitessel integraljunk.

u=cos(x)

du/dx=-sin(x)

∫tg(x)dx =

=∫-1/cos(x) * (-sin(x)) dx =

=-∫1/u du =

= - ln|u| +C =

= - ln|cos(x)| +C =

vagy ha a sec(x) fuggvennyel jobban szereted:

= ln|sec(x)| +C

De természetesen pl. a t=tg(x/2) helyettesítés is célravezető, csak így hosszabb a megoldás.

Amit írtam, úgy a legegyszerűbb.

∫√tg(x)dx =

= ∫(1/cos^2(x))*1/(1+tg^2(x)) * √tg(x) dx =

= ∫2tg(x)/(1+tg^2(x)) d√tg(x) =

u=√tg(x)

= ∫ u^2 / (1+u^4) du =

u^4 + 1 = u^4 +2u^2 - 2u^2 +1 = (u^2+1)^2 -2u^2 =

= (u^2 + 1 +√2 u)(u^2 + 1 -√2u)

u^2/(u^4+1) = (Au+B)/(u^2 + √2u + 1) + (Cu+D)/(u^2 -√2u + 1)

A+C=0

B-√2A+C+√2D=1

-√2B+A+√2D+C=0

A+B+C+D=0

megoldasa utan sokat egyszerusodik a dolog.

Valami ilyesmit kell kapnod:

(1/(4√2))*ln((u^2-√2u+1)/(u^2+√2u+1)) + (1/2√2)*(arctg(√2*u+1)+ arctg(√2*u-1)

aztan mar csak vissza kell helyettesitenit, ha pofozol rajta kapsz valami gyonyoruseget, aztan ha jobban atnezed rajossz, hogy 5-szor elszamoltad, es kezdheted elolrol.

Hah, talaltam egy levezetest itt:

[link]