Ha az x^2 függvény nem injektív akkor a négyzetgyök x miért az?

Az y=x^2 függvény injektivitása attól függ, hogy milyen Dom(f) halmazt választasz. Ha pl. Dom(f)=C, akkor valóban nem injektív az említett leképezés, ha viszont Dom(f)={1}, akkor igen. Az

f: A->B függvény definíció szerint pontosan akkor injektív, ha minden A-beli a_1 és a_2 elemre teljesül, hogy ha a_1 és a_2 nem egyenlőek, akkor f(a_1) és f(a_2) sem egyenlőek. Ezt a feltételt a VALÓS négyzetgyökfüggvény pl. teljesíti, mert HA a_1 és a_2 különbözőek, AKKOR nyilván négyzetgyökeik is különbözőek. Ha nem így lenne, akkor létezne két olyan valós a_1 és a_2 szám, hogy a_1 és a_2 különbözőek, de gyök(a_1)=gyök(a_2). Amennyiben négyzetre emeljük eme utóbbi egyenlőség mindkét oldalát, az a_1=a_2 feltételt kapjuk, ami azonnali ellentmondáshoz vezet. Az injektivitás definícióját sokszor szokás átfogalmazni az (A=>B)<=>((NOT(B))=>(NOT(A))) összefüggés felhasználásával, egyesek szemléletének kedvezőbb, és didaktikai vonatkozások tekintetében is lehet akár optimálisabb először azt az alakot tárgyalni. Amúgy a másodfokú R+->R+ függvény inverze az

R+->R+ négyzetgyökfüggvény, s így mindketten bijekciók, minthogy az invertálhatóság ekvivalens a bijektivitással. Egy bijektív függvény pedig szükségképpen injektív is. A kérdésed alapján Neked azzal van bajod, hogy minden pozitív valós a-ra pontosan két olyan c szám van, melyre c^2=a. A négyzetgyökfüggvény ilyen esetben definíció szerint az egyetlen ilyen pozitív c-t rendeli a-hoz.