Miért a derivált függvény grafikon érintőjének meredeksége adja meg a PILLANATNYI sebességet?

Azt hiszem, picit összekevertél dolgokat.

Az elmozdulás-idő grafikonból kell kiindulni. Tehát t időpontban s helyen vagyunk, t+Δt időpontban pedig s+Δs helyen. A grafikonon a görbe átmegy a (t;s) valamint a (t+Δt; s+Δs) pontokon is. A görbe a két pont között jobbra megy Δt-t, felfelé meg Δs-et. Vagyis a meredeksége itt Δs/Δt. Ha most belegondolsz a fizikába, ez éppen a pillanatnyi sebesség.

Igaziból persze a határértékeket kell számolni, úgy még pontosabban kijön a dolog, úgy lesz az az egyenes a függvény adott pontban lévő meredeksége, a deltákból ds/dt lesz.

Nem!

A pillanatnyi sebesség az eredeti (nem pedig derivált) függvény t0 pontjába húzott érintője.

Ami persze megegyezik a derivált függvény adott pontbeli értékével (nem pedig meredekségével).

Annál a konstans-nem konstans dolognál megint félreértesz valamit. A szinuszfüggvénynek a deriváltja is egy jól meghatározott függvény (egyébként az a koszinuszfüggvény). Hogy nem konstans? Na bumm. Az csak azt jelenti, hogy a "sebesség" nem állandó.

Félek, hogy holnap sem lesz világosabb a sebesség és a derivált kapcsolata.

Egy gyakorlati példa:

Abból, hogy 12 óra 10-kor elmentem az 5-ös km-kőnél, nem lehet a sebességemről semmit tudni.

Ha 12 óra 11 perckor járok a 6 -osnál, ebből már sejteni lehet valamit. (átlagsebesség)

Ha fél perc alatt megtett utamat mérik ( gépkocsi ) már sejteni lehet, hogy közben túlléptem a sebességkorlátozást, ha a 0,1 mp alatt megtett utamat mérik - na ennek hányadosa már közel van a pillanatnyi sebességhez, akkor büntetnek.

Szóval, ha gyakorlati példát keresel ne az út-idő görbére gondolj, mert az pont ilyen mérések alapján lehet felvenni és abból lehet deriválással következtetni. ( erre biztosan tudsz sok példát pl katasztrófák kivizsgálása a fekete doboz adatai alapján )