Mekkorák annak a derékszögű háromszögnek a szögei, amelyben az oldalak hosszának a szorzata négyszer akkora, mint a magasságok hosszának a szorzata?

Ne haragudj, de nem te tetted fel az 55^100 + 55^101 + 55^102 kérdést is? Netán véletlenül nyolcadikos vagy és versenyre készülsz? Mert mindkét feladat (ez a háromszöges és a hatványos) 1999-es Varga Tamás versenyből való feladatok.

Egyébként első megérzés alapján a feladatban szereplő két egyenletet megfelelően variálva lesz egy olyan egyenlet, amiben a és b van, innentől meg számtani-négyzetes közép lesz. Mondom, ez csak megérzés... Ha megvannak az oldalak, szögfüggvény-definíciókat kell alkalmazni derékszögű háromszögben és kész.

A háromszög oldalai

a, b, c

a magasságok

m(a), m(b), m(c)

A feltétel szerint

a*b*c = 4*m(a)*m(b)*m(c)

Mivel

m(a) = b

m(b) = a

m(c) = a*b/c

ezért

a*b*c = 4*a*b*(a*b/c)

Egyszerűsítés után

c² = 4ab

A Pithagorasz tételt felhasználva

a² + b² = 4ab

A szögek meghatározásához az oldalak aránya kell, ezért mindkét oldalt elosztva a*b-vel

a/b + b/a = 4

egyenlet adódik

Mivel

a/b = tgα

az egyenlet

tgα + 1/tgα = 4

a tgα = x helyettesítéssel

x² - 4x + 1 = 0

másodfokú egyenletet kapjuk

A gyökök

x1,2 = 2 ± √3

Vagyis

tgα1 = 2 + √3

tgα2 = 2 - √3

Ezekből a háromszög két hegyesszöge

α = 75°

ß = 15°

======

DeeDee

***********