Matek feladat,8. osztály, valaki segítene? (derékszögű trapéz)

Ha erinto negyszog akkor rajzold be a kort amit erint.

Az erinto szakaszok hossza egyenlo.

Mondjuk a trapezod ABCD

AB=10

CD=4

Az AB-n levo erintesi pont E, BC-n levo F, CD-n levo G es a DA-n levo H.

Mondjuk az A es a C csucsnal vannak a derekszogei a derekszogu trapeznak.

A kor sugarat jeloljuk r-rel.

AE = AH = r

BE = BF

CF = CG

DG = DH =r

Keresett: AD es BC

AD = AH+HD = 2r

BC = BF+FC = BE+CG = AB-AE + CD-DG = 10-r + 4-r = 14-2r

Vagyis eleg a kor sugarat meghatarozni ahhoz, hogy legyen egy megoldasod.

Rajzold be a magassagot a C csucsbol.

ennek a hossza 2r es egy derekszogu haromszoget vag le aminek az alapja 10-4 = 6

az atloja pedig BC = 14-2r

Ebbol lehet egy pitagorasz tetelt csinalni:

6^2 +(2r)^2 = (14-2r)^2

36 + 4r^2 = 196 -56r + 4r^2

56r = 160

r = 160/56 = 20/7

Tehat AD=40/7

BC = 14-40/7=58/7

(ellenorizzd amit szamoltam, szoktam elteveszteni)

a=10

c=4

mivel érintőnégyszög: b+d=14

Mivel derékszögű trapéz, ha eltoljuk a derékszögű szárat a másík csúcsba, egy derékszügű háromszöget kapunk

Ebből felírhatjuk P. tételét:

b^2+16=d^2 (ez jelli a négyzetre emelést)

b+d=14

Ez már egy egyszerű egyenletrendszer.

d=14-b

b^2+16=(14-d)^2

b^2+16=196-28d+d^2

28d=180

d=180/28

Az előzőt elszámoltam.

a=10

c=4

mivel érintőnégyszög: b+d=14

Mivel derékszögű trapéz, ha eltoljuk a derékszögű szárat a másík csúcsba, egy derékszügű háromszöget kapunk

Ebből felírhatjuk P. tételét:

b^2+36=d^2 (ez jelli a négyzetre emelést)

b+d=14

Ez már egy egyszerű egyenletrendszer.

d=14-b

b^2+36=(14-d)^2

b^2+36=196-28d+d^2

28d=160

d=160/28

Egy kevés számolgatás után kiderül, hogy a feladatnak van egy sokkal elegánsabb megoldása is.

Ugyanis levezethető, hogy az alapokra merőleges oldal hossza a két alap harmonikus közepe.

BKRS jelölésével az oldalak

a = AB = 10

b = CD = 4

c = BC = ?

d = DA = ?

Az 'A' és 'D' csúcsánál van a derékszög.

A két alap harmonikus közepe H(a,b), egyúttal a 'd' oldal hossza

d = 2ab/(a + b) = H(a,b)

Az érintő négyszög tulajdonságából adódik, hogy

c = a + b - d

Ha valakit érdekel a fent említett levezetés, szívesen leírom.

DeeDee

**********

A kérdező kérésére itt az említett levezetés

[link]

DeeDee

**********