SOS, hogy kell megoldani a következő két valszám feladatot?

1.

Várható érték: Σxᵢpᵢ

pl. a 200 forintos nyereménynek (850 ezer sorsjegy van belőle) a valószínűsége 850ezer/5millió, a szummában ezt kell szorozni 200-zal. Vagyis a teljes várható érték az lesz, hogy az össz nyereményalapot elosztjuk a sorsjegyek számával. Ugye menni fog?

2.

Ha behúzzuk a négyzet átlóit, az 4 háromszögre bontja a négyzetet. Éppen azok a pontok vannak egy háromszögben, amik mind ugyanahhoz az oldalhoz vannak a legközelebb.

Ha a négyzet bal alsó sarkát a koordinátarendszer origójára helyezzük, a bal oldalát pedig az y tengelyre, akkor a bal oldali háromszögben lévő pontok KSZi-je éppen megegyezik x koordinátájukkal, értéke 0 és 0,5 között van. A többi három háromszögnél is hasonlóképpen alakul, tehát elég csak a bal oldali háromszöget nézni, annak az eloszlásának a négyszerese lesz az eloszlásfüggvény.

Eloszlásfüggvény: F(m) = P(KSZi < m)

Mivel KSZi a bal oldali háromszögben a pont x koordinátája, a P(KSZi < m) valószínűség negyede (vagyis egy háromszögből számolt valószínűség) megegyezik azon trapéz területével, aminek alapjai egyrészt a négyzet bal oldala, másrészt az x=m egyenes (függőleges) bal oldali háromszögbe eső része, szárai pedig a négyzet átlói. Remélem, érthető ábra nélkül is...

A trapéz magassága éppen m, hosszabbik alapja 1, rövidebbik pedig 1-2m

Ennek a trapéznak a területe (1+(1-2m))m/2

A négyszerese lesz a teljes valószínűség (a négy háromszög miatt): P(KSZi < m) = 4·m·(1-m)

Ez tehát az eloszlásfüggvény:

m<0 esetén F(m) = 0

0<m<0,5 esetén: F(m) = 4·m·(1-m)

m>0,5 esetén F(m) = 1

Várható érték:

E(KSZi) = ∫ x·f(x) dx

ahol f(x) a sűrűségfüggvény, most a trapéz rövidebbik oldalának a négyszerese, vagyis 4-8x. (Egyébként deriválással is kijön: f(x)=F'(x))

Az integrálást 0 és 1/2 között végezzük, máshol f(x) értéke 0:

E(KSZi) = ∫ 4x-8x² dx = [2x²-8x³/3] = (1/2-1/3)-(0) = 1/6

Tehát a várható érték 1/6.

Annak valószínűsége, hogy a KSZi < 1/4:

P(KSZi < 1/4) = F(1/4) = 4·1/4·(1-1/4) = 3/4

(Ezt ki lehet számolni ránézésre is egyébként: a négyzet közepe 1/2-nél van, 1/4-nél nagyobb távolság a négyzet közepén lévő 1/2 oldalú kis négyzet belsejében lesz. Ennek a kis négyzetnek a területe 1/2·1/2=1/4. Az ezt körbevevő "folyosó" területe 1-1/4=3/4, ezen a területen belüli pontoknál lesz a távolság kisebb 1/4-nél.)

Ott alsó indexben lévő i betűk vannak, csak  úgy látszik, a géped nem tudja megjeleníteni.

Szóval szumma xi-szer pi