Bizonyítsd be, hogy 111.11 (n db) szorozva 1000. 005 (összesen n+1 db számjegy) plusz 1 = egy egész szám négyzetével! (? )

a(n)=111...11 (n db 1-es)

a(n) = 10*a(n-1) +1

b(n)=10...05 (n+1 jegyu szam)

b(n) =a(n+1)-a(n) + 5

A szam a feladtban: f(n) = a(n)b(n)+1

a(n)b(n) + 1 = a(n)(a(n+1)-a(n) + 5) +1=

a(n)b(n)+1= a(n)a(n+1) -a(n)a(n) +5a(n) +1

A(n) = 33...34 (n) jegyu szam

A(n) = 3*a(n) +1

A(n)^2 = (3*a(n) +1)^2 = 9a(n)^2 +6a(n) + 1 =

= 10a(n)*a(n) -a(n)*a(n) + a(n) +5a(n) +1 =

=a(n)(10a(n) +1) -a(n)^2 +5a(n) +1 =

a(n+1)a(n) -a(n)a(n) +5a(n)+1 = f(n)

Ennyi.