Szélsőérték feladat koordináta rendszerben? (kép mellékelve)

A K pont mondjuk a (k,0) pontban van az abra szerint.

Ekkor a teglalap vizszintes oldala: 4-k

a fuggoleges oldala meg sqrt(k)

A terulet meg:

sqrt(k)(4-k) = 4*sqrt(k) -k*sqrt(k)

namost ha tudsz derivalni, akkor derivalod, ha nem akkor meg majd meg segitunk.

A derivalasos megoldas szerint k=4/3 amit kapnod kell.

Erdekesebb a problema, ha nem lehet derivalni.

jeloljuk a=sqrt(k)

Ekkor az f(a) = 4a - a^3 szelso erteket keressuk a (0,2) intervallumon.

f(a) = a(a-2)(a+2) 3 gyoke van.

Toljuk el lefele, addig amig csak 2 gyoke lesz. Ekkor a ketszeres zero helynel lesz a szelsoertek,

f(a)-M = 4a - a^3 - M = -(a-P)(a-Q)^2 valamilyen P es Q ertkre, es nyilvan -Q-ban van a szelso ertek.

-a^3 + 0a^2 -4a +M = -a^3 +(2Q-P)a^2 +(2PQ-Q^2)a -Q^2P

vagyis

0 = 2Q-P

-4=2PQ - Q^2

M=PQ^2

P=2Q helyettesitessel:

-4 = 4Q^2 - Q^2

M = 2Q^3

-4 = 3Q^2

vagyis k=a^2 = -Q^2 = 4/3-ban lesz a keresett szelsoertek.

Na igy megy derivalas nelkul,

egy kicsit macerasabb mint a derivalasos, de azert mukodokepes.

BKRS, nagyon tetszik a második megoldásod, de az előjelekkel gond van a levezetésben. Megpróbálom rendberakni:

f(a)-M = 4a - a³ - M = -(a-P)(a-Q)² valamilyen P és Q értékre, és nyilván Q-ban van a szélső érték.

-a³ + 0a² +4a -M = -a³ +(P+2Q)a² +(-2PQ-Q²)a +PQ²

vagyis

0 = P+2Q

4 = -2PQ-Q²

-M = PQ²

P=-2Q helyettesítéssel:

4 = 4Q² - Q²

-M = -2Q³

4 = 3Q²

vagyis a=Q-ban, tehát k=a² = Q² = 4/3-ban lesz a keresett szélsőérték.

Ugye úgy van zárójelezve, hogy x^4+y^4+2/(x^2*y^2)

nem pedig úgy, hogy (x^4+y^4+2)/(x^2*y^2)

Vezessünk be két új változót: a=x², b=y², mindkettő pozitív.

a²+b² + 2/(ab)

(a-b)²+2ab + 2/(ab)

(a-b)² + 2(ab+1/(ab))

A négyzetes tagnak akkor van abszolút minimuma, ha a=b

A másodiknak pedig akkor, ha ab=1 (ezt ugye tudod? Számtani-mértani közepek egyenlőtlenségéből gyorsan levezethető)

Tehát akkor van minimum, ha a=b=1, a minimum értéke 4.

Vagyis x=±1, y=±1